Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność b(5b-4a)+a² ≥ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKENa początek spróbujmy wymnożyć b przez wartości w nawiasach i uporządkować całe wyrażenie, otrzymując:
5b²-4ab+a² ≥ 0 a²-4ab+5b² ≥ 0
Powinniśmy dostrzec, że otrzymany zapis przypomina nieco to, co znamy ze wzorów skróconego mnożenia, ale przeszkadza nam tutaj wartość 5b². Kluczowym więc manewrem będzie rozpisanie tej liczby jako 4b²+b², dzięki czemu otrzymamy:
a²-4ab+4b²+b² ≥ 0
Teraz, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b² widzimy, że naszą nierówność da się zapisać jako:
(a-2b)²+b² ≥ 0
Wartość (a-2b)² jest na pewno większa od zera lub równa zero, bo jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu daje wynik dodatni lub równy zero. Analogicznie wartość b² jest większa lub równa zero. To oznacza, że suma tych dwóch nieujemnych liczb na pewno będzie większa lub równa zero i właśnie to kończy nasze dowodzenie.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.