Równanie kwadratowe niezupełne - jak rozwiązać bez delty i ile ma rozwiązań

Równanie kwadratowe niezupełne to równanie $ax^2 + bx + c = 0$, w którym brakuje wyrazu wolnego ($c = 0$) albo wyrazu z $x$ w pierwszej potędze ($b = 0$). Rozwiązujesz je bez delty. Gdy $c = 0$, wyłączasz $x$ przed nawias: $x(ax + b) = 0$, więc $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$. Gdy $b = 0$, przenosisz wyraz wolny na drugą stronę i pierwiastkujesz: $x^2 = -\frac{c}{a}$, co daje dwa rozwiązania $x = \pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$, jeśli prawa strona jest dodatnia, jedno rozwiązanie $x = 0$, jeśli jest zerem, i brak rozwiązań, jeśli jest ujemna.

Na maturze podstawowej takie równania rzadko stoją same. Wchodzą jako czynniki równań iloczynowych, w których masz policzyć, ile rozwiązań ma równanie. Tak wyglądało zadanie 8 z matury maj 2017 ($x(x^2 - 4)(x^2 + 4) = 0$), zadanie 8 z matury maj 2022 ($2x(x^2 - 9)(x + 1) = 0$), zadanie 7 z matury maj 2025 ($2x(x + 3)(x^2 + 25) = 0$) i zadanie 7 z próbnej matury CKE z marca 2026. W każdym z nich rozstrzygasz o czynniku typu $x^2 - 9$ albo $x^2 + 25$, czyli dokładnie o równaniu niezupełnym. Poniżej masz oba typy, wzory, sześć rozwiązanych zadań i listę pułapek, na których te jednopunktowe zadania się gubi.

Co to jest równanie kwadratowe niezupełne

Równanie kwadratowe ma postać ogólną $ax^2 + bx + c = 0$, gdzie $a \neq 0$. Jeśli wszystkie trzy współczynniki są różne od zera, równanie nazywamy zupełnym. Jeśli $b = 0$ albo $c = 0$, równanie jest niezupełne. Sama nazwa na egzaminie nie ma znaczenia, ale metoda tak: równanie niezupełne rozwiązuje się szybciej niż z delty i z mniejszą liczbą miejsc na pomyłkę.

Są trzy przypadki:

• •brak wyrazu wolnego: $ax^2 + bx = 0$, na przykład $3x^2 - 12x = 0$,
• •brak wyrazu z $x$: $ax^2 + c = 0$, na przykład $2x^2 - 8 = 0$ albo $x^2 + 25 = 0$,
• •brak obu: $ax^2 = 0$, które ma jedno rozwiązanie $x = 0$.

Każdy z nich rozwiązujesz innym, ale bardzo krótkim ruchem. Pełny przegląd wszystkich metod dla równań zupełnych masz w przewodniku po równaniach kwadratowych na maturze. Tutaj skupiamy się na tym, co da się zrobić bez wyróżnika.

Typ 1: brak wyrazu wolnego, czyli ax² + bx = 0

Równanie $ax^2 + bx = 0$ rozwiązujesz, wyłączając $x$ przed nawias: $x(ax + b) = 0$. Iloczyn jest zerem tylko wtedy, gdy zeruje się któryś czynnik, więc $x = 0$ lub $ax + b = 0$, czyli $x = -\frac{b}{a}$. Takie równanie ma zawsze dokładnie dwa rozwiązania, a jednym z nich jest zero.

Cała metoda opiera się na zasadzie iloczynu zerowego: jeśli $A \cdot B = 0$, to $A = 0$ lub $B = 0$. To ta sama zasada, którą stosujesz przy rozkładzie wielomianu na czynniki i przy równaniach iloczynowych wyższych stopni.

Weź $3x^2 - 12x = 0$. Wspólny czynnik obu wyrazów to $3x$, więc $3x(x - 4) = 0$. Stąd $3x = 0$ lub $x - 4 = 0$, czyli $x = 0$ lub $x = 4$. Możesz sprawdzić: $3 \cdot 16 - 48 = 0$ i $0 - 0 = 0$.

Typ 2: brak wyrazu z x, czyli ax² + c = 0

Równanie $ax^2 + c = 0$ przekształcasz do postaci $x^2 = -\frac{c}{a}$. Dalej patrzysz tylko na znak prawej strony: gdy jest dodatnia, równanie ma dwa rozwiązania $x = \sqrt{-\frac{c}{a}}$ i $x = -\sqrt{-\frac{c}{a}}$; gdy jest zerem, jedno rozwiązanie $x = 0$; gdy jest ujemna, równanie nie ma rozwiązań, bo kwadrat liczby rzeczywistej nigdy nie jest ujemny.

Przykład z dwoma rozwiązaniami: $2x^2 - 8 = 0$, czyli $2x^2 = 8$, $x^2 = 4$, więc $x = 2$ lub $x = -2$. Przykład bez rozwiązań: $x^2 + 25 = 0$, czyli $x^2 = -25$, a żadna liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu nie daje $-25$.

Gdy prawa strona jest liczbą dodatnią, ale nie kwadratem liczby całkowitej, rozwiązania są niewymierne i tak je zostawiasz: $x^2 = 3$ daje $x = \sqrt{3}$ lub $x = -\sqrt{3}$. Jeśli chcesz, możesz zamiast pierwiastkowania rozłożyć lewą stronę wzorem skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$, a potem zastosować zasadę iloczynu zerowego. Obie drogi prowadzą do tych samych liczb.

A co z deltą? Można, ale nie trzeba

Delta działa też dla równań niezupełnych, tylko robi więcej pracy niż potrzeba. Dla $ax^2 + bx = 0$ masz $\Delta = b^2 - 4a \cdot 0 = b^2$, więc $\sqrt{\Delta} = |b|$ i wzory dają $x = \frac{-b \pm |b|}{2a}$, czyli $0$ oraz $-\frac{b}{a}$. Dla $ax^2 + c = 0$ masz $\Delta = -4ac$: gdy $a$ i $c$ mają różne znaki, delta jest dodatnia i są dwa rozwiązania, gdy mają ten sam znak, delta jest ujemna i rozwiązań nie ma.

Traktuj deltę jako sprawdzenie, nie jako metodę. Jeśli po wyłączeniu $x$ albo po pierwiastkowaniu masz wątpliwość, policz wyróżnik ze wzoru na deltę, który krok po kroku opisujemy w poście o obliczaniu delty, i porównaj liczbę rozwiązań. Możesz też wpisać współczynniki w kalkulator poniżej.

Wzory

Typowe pułapki

Co musisz umieć

Najczęstsze pytania