Jak rozwiązać równanie wymierne - dziedzina, NWW i zadania krok po kroku

Dlaczego równania wymierne to chleb powszedni maturzysty

Równania wymierne to równania w których niewiadoma występuje w mianowniku ułamka. Pojawiają się na maturze podstawowej i rozszerzonej praktycznie co roku, najczęściej w zadaniach otwartych za 3-5 punktów. Sprawdź sobie arkusze maturalne 2010-2025 - w niemal każdym znajdziesz zadanie typu "rozwiąż równanie $\frac{2x+1}{x-3} = \frac{x}{x+2}$" albo "wyznacz dziedzinę i rozwiąż równanie wymierne".

Problem polega na tym, że uczniowie bardzo często zapominają o dziedzinie. Mnożą obustronnie przez mianowniki, dostają jakieś $x$, wpisują w kratkę i tracą wszystkie punkty bo nie sprawdzili czy ten $x$ w ogóle należy do dziedziny. Albo odwrotnie - poprawnie wyznaczają dziedzinę, ale potem mylą się przy mnożeniu przez wspólny mianownik. W tym poradniku rozkładam całą procedurę na 4 jasne kroki, pokazuję dziedzinę krok po kroku i rozwiązuję 5 zadań - od najprostszego do takich które realnie pojawiają się na maturze.

Jeśli dopiero ogarniasz całą sekcję, zacznij od ogólnego przeglądu w równaniach kwadratowych i nierównościach na maturze. Tutaj skupimy się tylko na typie "z mianownikiem".

Czym jest równanie wymierne

Równanie wymierne to równanie w którym niewiadoma $x$ występuje co najmniej raz w mianowniku. Typowe postacie:

$$\frac{W(x)}{P(x)} = 0, \quad \frac{W(x)}{P(x)} = \frac{U(x)}{V(x)}, \quad \frac{a}{x-c} + \frac{b}{x-d} = e$$

gdzie $W, P, U, V$ to wielomiany. Najprostszy przypadek to równanie typu $\frac{x+1}{x-2} = 3$. Bardziej rozbudowany: $\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{1}{x}$.

Kluczowa obserwacja: ułamek $\frac{A}{B}$ ma sens tylko gdy $B \neq 0$. Dlatego zanim cokolwiek zrobimy, musimy wykluczyć wszystkie $x$ zerujące mianownik. To jest dziedzina równania.

Schemat 4 kroków który działa zawsze

Każde równanie wymierne, niezależnie od stopnia skomplikowania, rozwiązujesz tym samym schematem:

Krok 1: Wyznacz dziedzinę. Wszystkie mianowniki muszą być różne od zera. Wypisz każdy mianownik, przyrównaj do zera, znajdź "zakazane" $x$. Dziedziną jest $\mathbb{R}$ bez tych liczb. Jeśli mianownik to wielomian wyższego stopnia, najpierw rozłóż go na czynniki - inaczej trudno będzie zobaczyć wszystkie zera. Więcej o samym pojęciu dziedziny znajdziesz w poradniku jak wyznaczyć dziedzinę funkcji.

Krok 2: Sprowadź do wspólnego mianownika. Jeśli masz kilka ułamków, znajdź NWW mianowników. Pomnóż każdy licznik tak żeby wszystkie ułamki miały ten sam mianownik. Pamiętaj o najwyższej potędze każdego czynnika - nie iloczynie wszystkich mianowników.

Krok 3: Pomnóż obustronnie przez wspólny mianownik. Po tym kroku ułamki znikają i zostaje ci równanie wielomianowe - zwykle liniowe lub kwadratowe. Rozwiąż je standardowymi metodami: liniowe wprost, kwadratowe przez deltę albo wzory Viete'a.

Krok 4: Sprawdź dziedzinę. Każde rozwiązanie z kroku 3 musi należeć do dziedziny z kroku 1. Jeśli wyszło ci $x = 2$, a w dziedzinie wykluczyłeś $x = 2$, to to rozwiązanie odpada. Zostają tylko te które przechodzą oba sita.

To wszystko. Cztery kroki, żadnej magii. Teraz pokażę ci to na konkretnych zadaniach.

Zadanie 1: równanie z jednym mianownikiem

Rozwiąż: $\frac{2x-1}{x+3} = 3$.

Krok 1: Dziedzina. Mianownik $x+3 \neq 0$, więc $x \neq -3$. Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$.

Krok 2-3: Mnożymy obustronnie przez $x+3$. Dostajemy:
$$2x - 1 = 3(x+3)$$
$$2x - 1 = 3x + 9$$
$$-10 = x$$
Czyli $x = -10$.

Krok 4: Sprawdzenie dziedziny. $-10 \neq -3$, więc $x = -10$ należy do dziedziny.

Odpowiedź: $x = -10$.

To był rozgrzewkowy przykład. Zauważ jak ważne jest zapisanie dziedziny - gdyby zamiast $-10$ wyszło $-3$, musielibyśmy je odrzucić mimo "poprawnych" obliczeń.

Zadanie 2: dwa różne mianowniki ↗

Rozwiąż: $\frac{1}{x-2} + \frac{2}{x+1} = 1$.

Krok 1: Dziedzina. Mianowniki $x-2 \neq 0$ i $x+1 \neq 0$, więc $x \neq 2$ i $x \neq -1$. Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 2\}$.

Krok 2: Wspólny mianownik. Mianowniki są względnie pierwsze (nie mają wspólnego czynnika), więc NWW to ich iloczyn: $(x-2)(x+1)$.

Krok 3: Mnożymy obustronnie przez $(x-2)(x+1)$:
$$1 \cdot (x+1) + 2 \cdot (x-2) = 1 \cdot (x-2)(x+1)$$
$$x + 1 + 2x - 4 = (x-2)(x+1)$$
$$3x - 3 = x^2 - x - 2$$
$$0 = x^2 - 4x + 1$$ Liczymy deltę: $\Delta = 16 - 4 = 12$, więc $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{3}$.
$$x_1 = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}, \quad x_2 = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2} = 2 + \sqrt{3}$$

Krok 4: Dziedzina. Sprawdzamy czy $2 - \sqrt{3}$ lub $2 + \sqrt{3}$ to $-1$ albo $2$. Wartość $\sqrt{3} \approx 1{,}73$, więc $2 - \sqrt{3} \approx 0{,}27$ i $2 + \sqrt{3} \approx 3{,}73$. Obie wartości są w dziedzinie.

Odpowiedź: $x \in \{2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}\}$.

Zadanie 3: trzy ułamki, NWW mianowników

Rozwiąż: $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x-1}{x(x-1)}$.

Krok 1: Dziedzina. Mianowniki: $x \neq 0$, $x - 1 \neq 0$, $x(x-1) \neq 0$. Ostatni warunek wynika z dwóch pierwszych. Dziedzina: $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$.

Krok 2: Wspólny mianownik to $x(x-1)$. Sprowadzamy ułamki:
$$\frac{x-1}{x(x-1)} + \frac{x}{x(x-1)} = \frac{2x-1}{x(x-1)}$$ Krok 3: Mnożymy obustronnie przez $x(x-1)$:
$$(x-1) + x = 2x - 1$$
$$2x - 1 = 2x - 1$$

Otrzymaliśmy tożsamość. Oznacza to że równanie spełnia każdy $x$ z dziedziny.

Krok 4: Dziedzina. Wykluczyliśmy $0$ i $1$, więc zbiorem rozwiązań jest $D = \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$.

Odpowiedź: $x \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}$.

To pułapka. Wielu uczniów po dojściu do "$2x - 1 = 2x - 1$" pisze "brak rozwiązań" albo "sprzeczność". Tymczasem to tożsamość - jest nieskończenie wiele rozwiązań i trzeba pamiętać o dziedzinie.

Zadanie 4: mianownik kwadratowy do rozkładu

Rozwiąż: $\frac{2}{x-3} - \frac{1}{x+3} = \frac{12}{x^2 - 9}$.

Krok 1: Rozłóż mianownik. Zauważ że $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ - to klasyczny wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów. Wszystkie mianowniki to czynniki $(x-3)$ i $(x+3)$.

Krok 2: Dziedzina. $x \neq 3$ i $x \neq -3$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-3, 3\}$.

Krok 3: Wspólny mianownik $(x-3)(x+3)$. Mnożymy obustronnie:
$$2(x+3) - (x-3) = 12$$
$$2x + 6 - x + 3 = 12$$
$$x + 9 = 12$$
$$x = 3$$

Krok 4: Sprawdzenie dziedziny. $x = 3$ jest wykluczone z dziedziny. Rozwiązanie odpada.

Odpowiedź: równanie nie ma rozwiązań ($\emptyset$).

To jest scenariusz który łamie najwięcej uczniów. Wszystko poszło "dobrze", wyszedł konkretny $x$, kuszące jest go po prostu wpisać. Tymczasem krok 4 wyrzuca rozwiązanie i ostatecznie odpowiedź to zbiór pusty. Zawsze sprawdzaj.

Zadanie 5: maturalne, trudniejsze

Rozwiąż równanie: $\frac{x}{x-2} + \frac{4}{x+2} = \frac{16}{x^2 - 4}$.

Krok 1: Rozkład mianownika. $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Krok 2: Dziedzina. $x \neq 2$ i $x \neq -2$, czyli $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

Krok 3: Wspólny mianownik $(x-2)(x+2)$. Mnożymy obustronnie:
$$x(x+2) + 4(x-2) = 16$$
$$x^2 + 2x + 4x - 8 = 16$$
$$x^2 + 6x - 24 = 0$$ Liczymy deltę: $\Delta = 36 + 96 = 132$, więc $\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{33}$.
$$x_1 = \frac{-6 - 2\sqrt{33}}{2} = -3 - \sqrt{33}, \quad x_2 = -3 + \sqrt{33}$$

Krok 4: Dziedzina. $\sqrt{33} \approx 5{,}74$, więc $x_1 \approx -8{,}74$ i $x_2 \approx 2{,}74$. Żadna z tych liczb nie jest $\pm 2$, więc oba rozwiązania zostają.

Odpowiedź: $x \in \{-3 - \sqrt{33}, -3 + \sqrt{33}\}$.

Typowe pułapki i błędy

Pułapka 1: dzielenie przez wyrażenie z niewiadomą bez sprawdzania znaku. Nie dziel obu stron przez $(x-c)$ jeśli nie wiesz że $x \neq c$. Mnóż zamiast dzielić - mnożenie nie wymaga warunków na znak, tylko że mnożnik nie jest zerem (a tu właśnie po to wyznaczamy dziedzinę).

Pułapka 2: brak dziedziny w odpowiedzi. Nawet jeśli wszystkie znalezione $x$ "przeszły" przez sprawdzenie, w pełnej odpowiedzi powinieneś najpierw wypisać dziedzinę. Bez tego stracisz punkt za "kompletność rozwiązania".

Pułapka 3: znikający minus przy mnożeniu. Częsty błąd: $-\frac{a}{x-3}$ po pomnożeniu przez $(x-3)$ daje $-a$, a nie $+a$. Pisz każdy znak osobno i nie skracaj kroków pod presją czasu.

Pułapka 4: mylenie NWW z iloczynem mianowników. Mianowniki $x$ i $x^2$ mają NWW $x^2$, nie $x^3$. Mianowniki $(x-1)$ i $(x-1)^2$ mają NWW $(x-1)^2$, nie $(x-1)^3$. Bierz najwyższą potęgę każdego czynnika - to oszczędza pracy i zmniejsza ryzyko błędu.

Pułapka 5: zapomniany krok 4. Wyszedł ci $x$, wpisujesz odpowiedź, koniec. Tymczasem ten $x$ mógł być właśnie liczbą wykluczoną z dziedziny. Zawsze przejdź przez krok 4, nawet jeśli wydaje się oczywisty. Klasyk: rozwiązujesz "ładnie" i wychodzi $x = 3$, a dziedzina wymaga $x \neq 3$ - bez sprawdzenia tracisz cały punkt.

Pułapka 6: skreślanie ułamków bez sprawdzenia mianownika. Patrząc na $\frac{x^2-4}{x-2} = 5$ wielu uczniów od razu pisze $x+2 = 5$ bo "skrócili $(x-2)$". To OK, ale tylko jeśli pamiętasz że $x \neq 2$ - bo dopiero wtedy skracanie ma sens. Inaczej zgubisz dziedzinę.

Pułapka 7: zła kolejność działań. Najpierw dziedzina, potem przekształcenia. Nie zaczynaj od mnożenia obustronnego "bo szybciej" - bez wypisanej dziedziny nie wiesz co odrzucić na końcu.

Co kiedy mianownik ma stopień wyższy niż 1

Jeśli w mianowniku masz na przykład $x^2 + 3x + 2$, zacznij od rozkładu na czynniki. Liczysz deltę - $\Delta = 9 - 8 = 1$ - i wyznaczasz pierwiastki $x = -1$ i $x = -2$. Zatem $x^2 + 3x + 2 = (x+1)(x+2)$, więc dziedzina wymaga $x \neq -1$ i $x \neq -2$. Dopiero potem szukasz wspólnego mianownika.

Ta sama procedura działa dla wielomianów wyższego stopnia - rozkład na czynniki (zobacz: jak rozłożyć wielomian na czynniki), wykluczenie zer, NWW. Na maturze rozszerzonej często stosujesz schemat Hornera lub twierdzenie Bezouta - więcej w wielomianach na maturze.

Specjalny przypadek: równanie $\frac{W(x)}{P(x)} = 0$

Wart osobnej uwagi: równanie $\frac{W(x)}{P(x)} = 0$ jest spełnione wtedy i tylko wtedy gdy $W(x) = 0$ i jednocześnie $P(x) \neq 0$. Czyli szukasz miejsc zerowych licznika, ale z dziedziny wykluczasz zera mianownika.

Przykład: $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = 0$. Dziedzina: $x \neq 2$. Licznik zerowy: $x^2 - 4 = 0$, czyli $x = -2$ lub $x = 2$. Ale $x = 2$ wypada przez dziedzinę. Odpowiedź: $x = -2$.

Ten typ pojawia się też w zadaniach na miejsca zerowe funkcji - dokładnie ten sam mechanizm, tylko funkcja zamiast równania.

Sprytna technika: podstawienie

W trudniejszych zadaniach (głównie rozszerzona) pojawia się równanie typu $\frac{x^2+1}{x} + \frac{x}{x^2+1} = \frac{5}{2}$. Tu używamy podstawienia $t = \frac{x^2+1}{x}$ (dla $x \neq 0$). Wtedy:
$$t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}$$
Mnożymy obustronnie przez $2t$:
$$2t^2 - 5t + 2 = 0$$

$\Delta = 25 - 16 = 9$, więc $t = 2$ lub $t = \frac{1}{2}$. Wracamy do $x$:

Odpowiedź: $x = 1$.

Podobne techniki znajdziesz w postach jak rozwiązać równanie wykładnicze i jak rozwiązać równanie logarytmiczne - tam też podstawienie ratuje sytuację gdy bezpośredni atak nie wychodzi.

Zadanie 6: zadanie z parametrem (poziom rozszerzony)

Wyznacz wszystkie wartości parametru $m$, dla których równanie $\frac{x-1}{x+2} = m$ ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.

Krok 1: Dziedzina. $x + 2 \neq 0$, więc $x \neq -2$. Dla każdej wartości $m$ dziedzina to $\mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

Krok 2-3: Mnożymy obustronnie przez $x + 2$:
$$x - 1 = m(x + 2)$$
$$x - 1 = mx + 2m$$
$$x - mx = 2m + 1$$
$$x(1 - m) = 2m + 1$$

Analiza ze względu na $m$:

Odpowiedź: równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie dla każdego $m \neq 1$.

To typowy schemat zadań z parametrem na rozszerzonej. Sprowadzasz do postaci $x \cdot \text{coś}(m) = \text{coś innego}(m)$ i analizujesz dwa przypadki: gdy współczynnik przy $x$ jest zerowy i gdy nie. Tę samą logikę używasz w zadaniach o funkcji kwadratowej z parametrem - tam też dwa przypadki: $a = 0$ (funkcja liniowa) i $a \neq 0$ (faktycznie kwadratowa).

Co z układami równań wymiernych

Czasem na maturze trafisz na dwa równania wymierne z dwiema niewiadomymi. Strategia jest taka sama: wyznaczasz dziedzinę dla każdej zmiennej, sprowadzasz do wspólnego mianownika i albo stosujesz metodę podstawiania, albo metodę przeciwnych współczynników. Tylko pamiętaj o dziedzinie obu zmiennych równocześnie.

Przykład typowego maturalnego układu: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ i $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{3}$. Po podstawieniu $a = \frac{1}{x}$, $b = \frac{1}{y}$ dostajemy zwykły układ liniowy z $a + b = 1$ i $a - b = \frac{1}{3}$. Dodajesz stronami: $2a = \frac{4}{3}$, czyli $a = \frac{2}{3}$, wtedy $b = \frac{1}{3}$. Wracając do $x$ i $y$: $x = \frac{3}{2}$, $y = 3$. Sprawdzasz dziedzinę: $x \neq 0$ i $y \neq 0$ - obie wartości w porządku.

Funkcja homograficzna - krewniaczka równań wymiernych

Funkcja postaci $f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}$ (przy $c \neq 0$ i $ad - bc \neq 0$) to funkcja homograficzna. Zadanie typu "znajdź miejsce zerowe funkcji homograficznej" sprowadza się dokładnie do równania wymiernego $\frac{ax+b}{cx+d} = 0$, czyli $ax + b = 0$ przy warunku $cx + d \neq 0$.

Asymptota pionowa wykresu $f$ to prosta $x = -\frac{d}{c}$ - dokładnie ta wartość, którą wykluczasz z dziedziny równania wymiernego. Asymptota pozioma to $y = \frac{a}{c}$ (granica funkcji w nieskończoności). Jeśli na maturze widzisz pytanie "ile rozwiązań ma równanie $\frac{ax+b}{cx+d} = k$" w zależności od $k$, to graficznie szukasz przecięć wykresu hiperboli z prostą poziomą $y = k$. Asymptota pozioma daje wartość $k$ dla której nie ma rozwiązania.

Więcej o funkcji jako obiekcie z dziedziną, monotonicznością i miejscami zerowymi przeczytasz w funkcjach na maturze oraz w poradniku jak wyznaczyć dziedzinę funkcji.

Skąd biorą się te wszystkie pułapki na maturze CKE

Spójrz na arkusze. W Maturze podstawowej z 2024 i 2025 typowe zadanie wymierne to dwa lub trzy ułamki, jedno z nich ma mianownik kwadratowy, a kluczem są dwa kroki: rozkład $x^2 - a^2$ i ostrożne sprawdzenie dziedziny na końcu. Punkty są rozdzielane: 1 punkt za dziedzinę, 1-2 punkty za poprawne obliczenia, 1 punkt za sprawdzenie i wniosek końcowy.

Tracisz najwięcej gdy: (a) nie zapiszesz dziedziny (zero punktów za ten element), (b) pomylisz znaki przy mnożeniu (cała reszta pójdzie źle), (c) nie sprawdzisz końcowego $x$ z dziedziną (i zostaje ci błędna odpowiedź mimo że "obliczenia są dobre").

Dlatego warto wyrobić sobie odruch: każde równanie wymierne zaczynam od linijki "Dziedzina: $x \neq \ldots$". Każde kończę linijką "Sprawdzam dziedzinę: $x = \ldots$ należy/nie należy do D". Te dwie linijki to pewne 2 punkty na maturze.

Najczęstsze typy maturalnych równań wymiernych

Patrząc na arkusze CKE z ostatnich pięciu lat, można wyłapać kilka powtarzających się scenariuszy. Warto je rozpoznawać szybko, bo każdy ma swoją "pułapkę charakterystyczną".

Typ A: równanie z jednym mianownikiem liniowym. Najprostszy. Mnożysz obustronnie, dostajesz równanie liniowe lub kwadratowe, sprawdzasz dziedzinę. Pułapka: zapomniana dziedzina. Występuje głównie na podstawowej, za 2-3 punkty.

Typ B: dwa różne mianowniki liniowe. Wspólny mianownik to ich iloczyn. Po pomnożeniu wychodzi kwadratowe, robisz deltę. Pułapka: błąd przy mnożeniu i minus na zewnątrz nawiasu.

Typ C: mianownik kwadratowy do rozkładu (różnica kwadratów). Klasyk $x^2 - a^2$ albo $x^2 + bx + c$. Pułapka: rozwiązanie wychodzi równe wykluczonej wartości - i wtedy odpowiedź to zbiór pusty.

Typ D: równanie typu $\frac{W(x)}{P(x)} = 0$. Zerujesz licznik, sprawdzasz dziedzinę. Pułapka: zapomniany warunek niezerowości mianownika.

Typ E: zadanie z parametrem (rozszerzona). Dyskusja względem wartości parametru $m$, kiedy równanie ma jedno/dwa/zero rozwiązań. Pułapka: nieuwzględnienie przypadku gdy współczynnik przy $x$ jest zerowy.

Typ F: nierówność wymierna. Inne dzieło, ale podobny mechanizm: znak ułamka analizujesz przez znak licznika i mianownika osobno, tworzysz tabelkę znaków. To temat na osobny poradnik - tymczasem zobacz nierówności na maturze.

Dodatkowe zadania do samodzielnego sprawdzenia

Spróbuj rozwiązać każde z poniższych zanim zerkniesz na odpowiedź. Trzymaj się schematu 4 kroków: dziedzina, NWW, mnożenie, sprawdzenie.

Zadanie 7. Rozwiąż: $\frac{3}{x+1} = \frac{2}{x-1}$.

Dziedzina: $x \neq -1$ i $x \neq 1$. Mnożymy obustronnie przez $(x+1)(x-1)$: $3(x-1) = 2(x+1)$, czyli $3x - 3 = 2x + 2$, więc $x = 5$. Dziedzina OK. Odpowiedź: $x = 5$.

Zadanie 8. Rozwiąż: $\frac{x+2}{x-2} - \frac{x-2}{x+2} = \frac{16}{x^2 - 4}$.

Dziedzina: $x \neq \pm 2$, bo $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$. Wspólny mianownik $(x-2)(x+2)$. Po pomnożeniu obustronnie: $(x+2)^2 - (x-2)^2 = 16$. Rozwijamy: $x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 = 16$, czyli $8x = 16$, więc $x = 2$. Ale $x = 2$ jest wykluczone z dziedziny - odpowiedź to zbiór pusty.

Zadanie 9. Wyznacz wszystkie $x$ dla których $\frac{x^2 - 5x + 6}{x - 3} = 0$.

Dziedzina: $x \neq 3$. Licznik zerowy: $x^2 - 5x + 6 = 0$. Z delty $\Delta = 25 - 24 = 1$, więc $x = 2$ lub $x = 3$. Wykluczamy $x = 3$. Odpowiedź: $x = 2$.

Zadanie 10. Rozwiąż: $\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+1} = \frac{4}{x^2 - 1}$.

Dziedzina: $x \neq \pm 1$. Po pomnożeniu przez $(x-1)(x+1)$: $(x+1) - 2(x-1) = 4$, czyli $x + 1 - 2x + 2 = 4$, więc $-x + 3 = 4$, $x = -1$. Ale $x = -1$ jest wykluczone z dziedziny - odpowiedź to zbiór pusty.

Jeśli wszystkie cztery wyszły poprawnie, rozumiesz mechanizm. Jeśli któreś się sypnęło, wróć do zadań 1-6 i prześledź gdzie zgubiłeś krok.

Co musisz umieć na maturę (checklist)

Sprawdź sam siebie:

Jeśli odhaczyłeś wszystko, równania wymierne masz pod kontrolą. Dla utrwalenia polecam zrobić kilka zadań z bazy w Równaniach i nierównościach oraz przejrzeć powiązane tematy: funkcje na maturze, dziedzina funkcji oraz równania niewymierne z pierwiastkiem.

Powiązane tematy na sprawnamatura.pl

Jeśli pracujesz nad sekcją "Równania i nierówności" zajrzyj jeszcze do:

Codziennie nowe zadania, codziennie szansa zdobyć więcej punktów na maturze. Powodzenia w nauce.