Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników - krok po kroku z przykładami

Metoda przeciwnych współczynników polega na tym, że mnożysz jedno albo oba równania układu przez takie liczby, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne (np. $3y$ i $-3y$), a potem dodajesz równania stronami. Ta niewiadoma znika, zostaje równanie z jedną niewiadomą, a drugą liczysz z dowolnego równania układu. To druga, obok metody podstawiania, podstawowa metoda rozwiązywania układów równań liniowych, nazywana też metodą eliminacji albo dodawania stronami.

Na maturze z matematyki często pojawia się układ, w którym podstawianie byłoby koszmarem rachunkowym, a eliminacja rozwiązuje go w trzech linijkach. W tym przewodniku masz schemat działania, sześć rozwiązanych układów, interpretację na wykresie funkcji liniowych, kartę pracy z odpowiedziami i najczęstsze pułapki.

W skrócie

• Mnożysz równania tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, i dodajesz je stronami: ta niewiadoma znika.
• Gdy współczynniki to np. $4x$ i $3x$, mnożysz oba równania (przez 3 i przez 4), żeby dojść do wspólnej liczby 12.
• Wynik $0 = 0$ oznacza nieskończenie wiele rozwiązań, a $0 = -3$ czy inna fałszywa równość to układ sprzeczny.
• Na wykresie każde równanie to prosta, a rozwiązanie układu to punkt przecięcia tych dwóch prostych.
• Parę liczb sprawdzasz, podstawiając ją do obu równań, nie tylko do jednego.

Na czym polega metoda przeciwnych współczynników

Masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$. Idea jest prosta: doprowadzasz jedno z równań (lub oba) do takiej postaci, żeby współczynniki przy jednej niewiadomej były liczbami przeciwnymi. Wtedy dodajesz równania stronami i ta niewiadoma znika.

Przykład startowy:

$\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x - 3y = 5 \end{cases}$

Zauważ, że przy $y$ mamy współczynniki $+3$ i $-3$. Są już przeciwne. Dodajesz równania stronami:

$(2x + 3y) + (4x - 3y) = 7 + 5$
$6x = 12$
$x = 2$

Teraz wstawiasz $x = 2$ do dowolnego z równań początkowych, na przykład do pierwszego:

$2 \cdot 2 + 3y = 7$
$3y = 3$
$y = 1$

Rozwiązanie: $(x, y) = (2, 1)$. Sprawdź podstawiając do obu równań - oba muszą być spełnione. Więcej takich układów z prawdziwych arkuszy CKE znajdziesz w dziale układy równań na maturze.

Schemat metody krok po kroku

Zapisz sobie ten schemat i stosuj go zawsze, kiedy wybierasz eliminację:

Krok 1. Wybierz niewiadomą do wyeliminowania (tę, przy której łatwiej sprowadzić współczynniki do liczb przeciwnych).

Krok 2. Pomnóż jedno (lub oba) równania przez taką liczbę, żeby współczynniki przy wybranej niewiadomej były liczbami przeciwnymi.

Krok 3. Dodaj równania stronami - wybrana niewiadoma się zredukuje.

Krok 4. Rozwiąż otrzymane równanie z jedną niewiadomą.

Krok 5. Wstaw wynik do jednego z pierwotnych równań i oblicz drugą niewiadomą.

Krok 6. Sprawdź rozwiązanie podstawiając do drugiego równania (kontrola).

To sześć kroków, które wykonujesz mechanicznie. Po kilkunastu rozwiązanych układach zaczniesz je robić odruchowo.

Kiedy wybrać eliminację, a kiedy podstawianie

To pytanie dostaję na korepetycjach ciągle. Zasada kciuka:

Użyj eliminacji, gdy:

• •W obu równaniach współczynniki przy którejś niewiadomej są podobne (np. $2x$ i $6x$, $3y$ i $-3y$).
• •W żadnym równaniu nie masz "czystego" $x$ lub $y$ po jednej stronie.
• •Masz ładne liczby całkowite i chcesz uniknąć ułamków.

Użyj podstawiania, gdy:

• •W jednym z równań niewiadoma ma już współczynnik 1 (np. $y = 3x + 2$, albo $x = 5 - 2y$).
• •Jedno z równań jest nieliniowe (np. $x^2 + y^2 = 25$) - tam eliminacja nie zadziała.
• •Widać, że wyrażenie na $y$ lub $x$ wyjdzie krótkie.

Jeśli oba podejścia wyglądają równie sensownie, wybierz to, które da Ci mniejsze współczynniki. Matura to gra na czas.

Zadanie 1 - klasyczny przykład z mnożeniem

Rozwiąż układ:

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

$\begin{cases} 3x + 2y = 16 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases}$

Żeby wyeliminować $y$, pomnożymy pierwsze równanie przez 2 (współczynniki przy $y$ staną się $+4$ i $-4$):

$\begin{cases} 6x + 4y = 32 \\ 5x - 4y = 10 \end{cases}$

Dodajemy stronami:

$11x = 42$
$x = \frac{42}{11}$

Wynik wyszedł ułamkowy. To sygnał, że albo źle przepisaliśmy zadanie, albo odpowiedź naprawdę jest ułamkiem. Na maturze najpierw sprawdź rachunki od początku, a jeśli wszystko się zgadza, licz dalej.

Wstawiamy do pierwszego równania:

$3 \cdot \frac{42}{11} + 2y = 16$
$\frac{126}{11} + 2y = \frac{176}{11}$
$2y = \frac{50}{11}$
$y = \frac{25}{11}$

Rozwiązanie: $\left(\frac{42}{11}, \frac{25}{11}\right)$. Sprawdzenie w drugim równaniu: $5 \cdot \frac{42}{11} - 4 \cdot \frac{25}{11} = \frac{210 - 100}{11} = \frac{110}{11} = 10$. OK, zgadza się.

Wylosuj podobne zadanie

Teraz ty

Spróbuj sam układu z matury z maja 2013: pomnóż pierwsze równanie przez 2, a przy $y$ staną liczby przeciwne.

Matura maj 2013Zadanie 4Układy równań1 pkt

Rozwiązaniem układu równań $\begin{cases} 5x+3y=3\\ 8x-6y=48 \end{cases}$ jest para liczb

• A. $x=-3$ i $y=4$
• B. $x=-3$ i $y=6$
• C. $x=3$ i $y=-4$
• D. $x=9$ i $y=4$

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Układy równań

Zadanie 2 - gdy trzeba pomnożyć oba równania

$\begin{cases} 4x + 5y = 23 \\ 3x - 2y = -1 \end{cases}$

Współczynniki przy $x$ to 4 i 3 - najmniejsza wspólna wielokrotność to 12. Mnożymy pierwsze przez 3, drugie przez 4 i dopasowujemy znaki:

$\begin{cases} 12x + 15y = 69 \\ 12x - 8y = -4 \end{cases}$

Teraz odejmujemy drugie od pierwszego (albo mnożymy drugie przez $-1$ i dodajemy):

$(12x + 15y) - (12x - 8y) = 69 - (-4)$
$23y = 73$
$y = \frac{73}{23}$

Tu też wynik ułamkowy - to się zdarza. Zwykle w zadaniach maturalnych wychodzą ładne liczby, ale nie zawsze. Pamiętaj: ładne liczby to wskazówka, nie gwarancja.

Wstawiamy do drugiego równania:

$3x - 2 \cdot \frac{73}{23} = -1$
$3x = -1 + \frac{146}{23} = \frac{-23 + 146}{23} = \frac{123}{23}$
$x = \frac{41}{23}$

Zadanie 3 - układ z ułamkami

$\begin{cases} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 5 \\ \frac{x}{4} - \frac{y}{6} = 1 \end{cases}$

Pierwsza myśl: pozbywamy się ułamków mnożąc każde równanie przez wspólny mianownik. Pierwsze przez 6, drugie przez 12:

$\begin{cases} 3x + 2y = 30 \\ 3x - 2y = 12 \end{cases}$

Teraz eliminacja $y$ sama się prosi - dodajemy stronami:

$6x = 42$
$x = 7$

Z pierwszego: $3 \cdot 7 + 2y = 30$, więc $2y = 9$, $y = \frac{9}{2} = 4{,}5$. Sprawdzenie w drugim: $3 \cdot 7 - 2 \cdot 4{,}5 = 21 - 9 = 12$. Zgadza się.

Morał: jeśli widzisz ułamki, pierwszy krok to pomnożyć przez wspólny mianownik. Dopiero potem stosuj metodę eliminacji.

Zadanie 4 - zadanie z treścią (matura)

Suma dwóch liczb wynosi 48. Jeśli większą liczbę zmniejszymy o 5, a mniejszą zwiększymy o 3, otrzymamy liczby, których różnica wynosi 10. Wyznacz te liczby.

Zapisujemy układ. Niech $x$ będzie większą, $y$ mniejszą:

$\begin{cases} x + y = 48 \\ (x - 5) - (y + 3) = 10 \end{cases}$

Drugie równanie upraszczamy: $x - y - 8 = 10$, czyli $x - y = 18$. Mamy:

$\begin{cases} x + y = 48 \\ x - y = 18 \end{cases}$

Tu metoda przeciwnych współczynników działa bez żadnego mnożenia - dodajemy stronami:

$2x = 66$
$x = 33$

Więc $y = 48 - 33 = 15$. Liczby to 33 i 15. Zawsze sprawdzaj z treścią: 33 + 15 = 48 (ok), (33-5) - (15+3) = 28 - 18 = 10 (ok). Zadanie rozwiązane w 4 linijkach.

Zadanie 5 - układ bez rozwiązań (sprzeczny)

$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ 4x + 6y = 7 \end{cases}$

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Mnożymy pierwsze przez $-2$:

$\begin{cases} -4x - 6y = -10 \\ 4x + 6y = 7 \end{cases}$

Dodajemy stronami: $0 = -3$. Sprzeczność. Układ nie ma rozwiązań. To jest ważny wynik - oznacza, że odpowiednie proste są równoległe i nie przecinają się.

Na maturze pojawiają się zadania z parametrem typu "dla jakiej wartości parametru $m$ układ nie ma rozwiązań". Tu wystarczy doprowadzić układ do postaci sprzecznej i znaleźć $m$.

Wylosuj podobne zadanie

Zadanie 6 - układ z nieskończoną liczbą rozwiązań

$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ 3x - 6y = 9 \end{cases}$

Drugie równanie to pierwsze pomnożone przez 3. Gdy mnożymy pierwsze przez $-3$ i dodajemy do drugiego, dostajemy $0 = 0$ - tożsamość. Oznacza to, że oba równania opisują tę samą prostą i rozwiązań jest nieskończenie wiele.

Rozwiązanie zapisujemy parametrycznie: $x = 3 + 2t$, $y = t$, gdzie $t \in \mathbb{R}$.

Metoda przeciwnych współczynników a funkcja liniowa

Każde równanie postaci $ax + by = c$ z $b \neq 0$ to wzór funkcji liniowej: wystarczy wyznaczyć z niego $y$. Rozwiązanie układu to punkt, w którym przecinają się wykresy dwóch takich funkcji, więc metoda przeciwnych współczynników liczy rachunkiem to, co na rysunku odczytujesz jako punkt wspólny dwóch prostych.

Weź układ z początku wpisu. Z pierwszego równania $y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}$, z drugiego $y = \frac{4}{3}x - \frac{5}{3}$. Dla $x = 2$ obie funkcje dają $y = 1$, bo $-\frac{4}{3} + \frac{7}{3} = 1$ oraz $\frac{8}{3} - \frac{5}{3} = 1$. Wykresy przecinają się więc w punkcie $(2, 1)$, dokładnie tam, gdzie wyszło rozwiązanie z dodawania stronami.

Liczbę rozwiązań poznasz po współczynnikach kierunkowych obu prostych:

Tak wyglądają Zadanie 5 i Zadanie 6 na wykresie. W Zadaniu 5 obie proste mają współczynnik kierunkowy $-\frac{2}{3}$, ale wyrazy wolne $\frac{5}{3}$ i $\frac{7}{6}$, więc są równoległe. W Zadaniu 6 oba równania dają $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$, czyli tę samą prostą. Gdy obie proste masz już w postaci $y = ax + b$, punkt wspólny dostaniesz też przez przyrównanie wzorów, co pokazuje wpis o tym, jak obliczyć punkt przecięcia dwóch prostych.

Częsty typ zadania to dwa wzory funkcji liniowych i pytanie o punkt wspólny wykresów. Dla $f(x) = 2x - 3$ i $g(x) = -x + 6$ zapisujesz oba wzory jako równania z $x$ i $y$, przenosząc $x$ na lewą stronę:

$\begin{cases} -2x + y = -3 \\ x + y = 6 \end{cases}$

Mnożysz drugie równanie przez $-1$, żeby przy $y$ stały liczby przeciwne, i dodajesz stronami:

$-3x = -9$
$x = 3$

Z drugiego równania $y = 6 - 3 = 3$, więc wykresy przecinają się w punkcie $(3, 3)$. Sprawdzenie: $f(3) = 6 - 3 = 3$ i $g(3) = -3 + 6 = 3$.

Ta sama obserwacja rozwiązuje zadania z parametrem. W układzie

$\begin{cases} 2x + 3y = 5 \\ mx + 6y = 7 \end{cases}$

mnożysz pierwsze równanie przez $-2$ i dodajesz stronami, co daje $(m - 4)x = -3$. Dla $m = 4$ wychodzi $0 = -3$, czyli układ sprzeczny i dwie proste równoległe. Dla każdego innego $m$ układ ma dokładnie jedno rozwiązanie, bo $x = \frac{-3}{m - 4}$. Pełne omówienie takich zadań znajdziesz we wpisie o liczbie rozwiązań układu równań z parametrem.

Najczęstsze pułapki

1. Zapominanie o znakach przy mnożeniu. Kiedy mnożysz równanie przez liczbę ujemną, pamiętaj że zmieniają się znaki przy każdym wyrazie, także przy wyrazie wolnym po prawej stronie. Błąd w znaku to błąd w całym układzie.

2. Pomylone dodawanie z odejmowaniem. Czasem uczniowie chcą dodać, ale zapominają że pod "równaniami" jest znak $=$, nie $+$. Bezpieczna technika: zapisuj równania pod sobą, oznaczaj "+" albo "-" obok drugiego i wtedy licz literalnie.

3. Sprawdzanie tylko w jednym równaniu. Jeśli masz $(x, y) = (3, 1)$ i podstawisz do pierwszego równania z układu, dostaniesz zgodność, ale to nic nie mówi o drugim. Zawsze podstawiaj do obu. Sprawdzenie zajmuje chwilę, a potrafi uratować punkty za całe zadanie.

4. Niezauważenie, że układ jest sprzeczny albo tożsamościowy. Kiedy po eliminacji dostajesz $0 = \text{liczba}$, to sprzeczność. Gdy $0 = 0$, to nieskończenie wiele rozwiązań. To nie jest błąd rachunkowy, to informacja.

5. Mieszanie metod. Wybierz jedną metodę i ją dokończ. Jeśli w środku zmienisz zdanie i zaczniesz podstawiać, pomylisz się. Najpierw zdecyduj, potem licz.

Metoda przeciwnych współczynników dla układów nieliniowych

Czasem dostaniesz układ, gdzie jedno równanie jest liniowe, a drugie kwadratowe:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$

Tu nie używasz eliminacji, bo mnożenie liniowego nie usunie $x^2$ ani $y^2$. Zawsze idź w metodę podstawiania - wyznacz $y = 7 - x$ i wstaw.

Ale uwaga: jeśli oba równania są kwadratowe i symetryczne (np. oba typu $x^2 + y^2$, $x^2 - y^2$), eliminacja nagle wraca do gry:

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10 \\ x^2 - y^2 = 6 \end{cases}$

Dodajesz stronami: $2x^2 = 16$, więc $x = \pm 2\sqrt{2}$. Odejmujesz: $2y^2 = 4$, $y = \pm \sqrt{2}$. Cztery pary rozwiązań.

Eliminacja w układach z trzema niewiadomymi

Na maturze podstawowej układy mają zwykle dwie niewiadome, ale ta sama technika działa przy trzech. Łączysz równania parami i z każdej pary usuwasz tę samą niewiadomą, aż zostaniesz z układem dwóch równań z dwiema niewiadomymi.

Przykład na rozgrzewkę:

$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases}$

Usuwasz $z$. Dodaj pierwsze i trzecie równanie: $2x + 3y = 8$. Dodaj drugie i trzecie: $3x + y = 5$. Teraz masz zwykły układ z niewiadomymi $x$ i $y$. Pomnóż równanie $3x + y = 5$ przez $-3$, co daje $-9x - 3y = -15$, i dodaj do $2x + 3y = 8$: wychodzi $-7x = -7$, więc $x = 1$. Stąd $y = 5 - 3 = 2$, a z pierwszego równania układu $z = 6 - 1 - 2 = 3$. Sprawdzenie w drugim równaniu: $2 - 2 + 3 = 3$, w trzecim: $1 + 4 - 3 = 2$.

Metoda przeciwnych współczynników: karta pracy z odpowiedziami

Siedem układów ułożonych od najprostszego do najtrudniejszego. Rozwiąż je na kartce metodą przeciwnych współczynników, a dopiero potem porównaj wynik z odpowiedziami pod listą. Przy każdym układzie najpierw zdecyduj, którą niewiadomą usuwasz i przez co mnożysz.

1. 1.$x + y = 10$ oraz $x - y = 4$
2. 2.$2x + y = 7$ oraz $3x - y = 13$
3. 3.$3x + 2y = 12$ oraz $x - 2y = -4$
4. 4.$2x + 3y = 13$ oraz $3x + 2y = 17$
5. 5.$5x - 3y = 21$ oraz $2x + 4y = -2$
6. 6.$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 4$ oraz $\frac{x}{6} - \frac{y}{4} = 0$
7. 7.$3x - y = 2$ oraz $6x - 2y = 5$

Rozwiązania z najważniejszym krokiem:

1. 1.Dodajesz równania od razu: $2x = 14$, więc $x = 7$, $y = 3$.
2. 2.Dodajesz równania od razu: $5x = 20$, więc $x = 4$, $y = -1$.
3. 3.Dodajesz równania od razu: $4x = 8$, więc $x = 2$, $y = 3$.
4. 4.Pierwsze razy 3, drugie razy 2 i odejmujesz: $5y = 5$, więc $y = 1$, $x = 5$.
5. 5.Pierwsze razy 4, drugie razy 3 i dodajesz: $26x = 78$, więc $x = 3$, $y = -2$.
6. 6.Pierwsze razy 6, drugie razy 12: $2x + 3y = 24$ i $2x - 3y = 0$, po dodaniu $4x = 24$, więc $x = 6$, $y = 4$.
7. 7.Od drugiego równania odejmujesz pierwsze pomnożone przez 2 i dostajesz $0 = 1$: układ sprzeczny, brak rozwiązań.

Gdy wynik się nie zgadza, sprawdź go przez podstawienie swojej pary liczb do obu równań układu: od razu zobaczysz, w którym miejscu rachunek się rozjechał.

Checklista - co musisz umieć

Jeśli chcesz przećwiczyć więcej zadań z układów, zajrzyj do pełnego przewodnika po układach równań albo rozwiąż zadania CKE z układów równań z rozwiązaniami. Ta metoda przyda się w wielu zadaniach z arkusza, więc warto mieć ją w głowie jak tabliczkę mnożenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Najczęstsze pytania