Metoda podstawiania: jak rozwiązać układ równań

Układ równań metodą podstawiania rozwiązujesz w trzech ruchach: z prostszego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, na przykład $y = 7 - x$ , wstawiasz to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania i rozwiązujesz równanie z jedną niewiadomą. Potem wracasz do wyznaczonego wzoru po drugą niewiadomą i sprawdzasz parę liczb w obu równaniach.

W skrócie

Wyznaczaj tę niewiadomą, która stoi ze współczynnikiem $1$ albo $-1$ , bo wtedy nie pojawi się ułamek.
Podstawione wyrażenie zawsze bierzesz w nawias: przy $y = 3 - x$ zapis $2y$ to $2(3 - x) = 6 - 2x$ .
Rozwiązaniem układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi jest para liczb, na przykład $x = 3$ i $y = 4$ .
Fałsz po podstawieniu do drugiego równania, na przykład $3 = 5$ , oznacza układ sprzeczny, a prawdziwa równość typu $6 = 6$ nieskończenie wiele rozwiązań.

Dlaczego metoda podstawiania?

Układy równań trafiają na maturę zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych. Metoda podstawiania to najczęściej stosowana metoda rozwiązywania. Jest prosta, intuicyjna i działa zawsze.

Na maturze układy równań pojawiają się nie tylko jako "czyste" zadania algebraiczne. Często musisz sam ułożyć układ na podstawie treści zadania - na przykład przy zadaniach z treścią o mieszankach, prędkościach czy cenach.

31 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Układy równań

Na czym polega metoda podstawiania?

Masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

\begin{cases} \text{równanie 1} \\ \text{równanie 2} \end{cases}

Robisz trzy kroki:

1.Wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania
2.Podstaw ją do drugiego równania (zostajesz z jedną niewiadomą)
3.Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą, potem wróć i oblicz drugą

To wszystko. Teraz zobaczmy jak to działa na konkretnych przykładach.

Metoda podstawiania z dwiema niewiadomymi: którą niewiadomą wyznaczyć

W układzie z dwiema niewiadomymi $x$ i $y$ masz cztery możliwe starty: $x$ albo $y$ , z pierwszego albo z drugiego równania. Wybór nie zmienia wyniku, ale zmienia ilość rachunków. Szukaj niewiadomej ze współczynnikiem $1$ albo $-1$ , bo wtedy wyznaczasz ją bez dzielenia.

Weź układ:

\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - y = 10 \end{cases}

Tylko $y$ w drugim równaniu ma współczynnik $-1$ . Przenosisz $y$ na prawą stronę, a $10$ na lewą:

y = 4x - 10

Podstawiasz to do pierwszego równania i od razu otwierasz nawias:

2x + 3(4x - 10) = 12

2x + 12x - 30 = 12

14x = 42

x = 3

Wracasz do wzoru: $y = 4 \cdot 3 - 10 = 2$ . Sprawdzenie: $2 \cdot 3 + 3 \cdot 2 = 12$ oraz $4 \cdot 3 - 2 = 10$ , więc rozwiązaniem jest para $x = 3$ , $y = 2$ .

Gdybyś zaczął od $x$ z pierwszego równania, dostałbyś $x = \frac{12 - 3y}{2}$ i ułamek w każdym następnym kroku. Wynik byłby ten sam, ale każda linijka z ułamkiem to kolejna okazja do pomyłki rachunkowej.

Przykład 1 - Prosty układ liniowy

Układy równań

Rozwiąż układ:

\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Wyznacz $y$ z pierwszego równania (bo jest najprostsze):
$y = 7 - x$
Krok 2
Podstaw do drugiego równania:
$2x - (7 - x) = 2$
Krok 3
Rozwiąż:
$2x - 7 + x = 2$
$3x = 9$
$x = 3$
Krok 4
Wróć i oblicz $y$ :
$y = 7 - 3 = 4$

Odpowiedź

$x = 3$ , $y = 4$ .

Sprawdzenie: Wstaw do obu równań:

• $3 + 4 = 7$ $\checkmark$
• $2 \cdot 3 - 4 = 2$ $\checkmark$

Zawsze sprawdzaj w obu równaniach. Jeśli rozwiązanie pasuje do jednego, ale nie do drugiego, popełniłeś błąd.

31 zadań CKE z rozwiązaniami Ćwicz dział Układy równań

Teraz ty

Spróbuj sam tego samego typu zadania z prawdziwego arkusza CKE: wyznacz $x$ z pierwszego równania i podstaw je do drugiego.

Matura próbna CKE grudzień 2023Zadanie 6Układy równań1 pkt

Dany jest układ równań

\begin{cases} x - 3y + 5 = 0 \\ 2x + y + 3 = 0 \end{cases}

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb

A. $x=1$ i $y=2$
B. $x=0$ i $y=-3$
C. $x=-2$ i $y=1$
D. $x=-1$ i $y=-1$

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie wczytuje się po otwarciu. Otwórz w aplikacji.

Losuj kolejne zadanie z działu Układy równań

Przykład 2 - Współczynnik przy zmiennej

0/4

Układy równań

Rozwiąż układ:

\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Z drugiego równania wyznacz $x$ (bo nie ma współczynnika - a właściwie jest 1):
$x = 1 + y$
Krok 2
Podstaw do pierwszego:
$3(1 + y) + 2y = 12$
Krok 3
Rozwiąż:
$3 + 3y + 2y = 12$
$5y = 9$
$y = \frac{9}{5}$
Krok 4
$x = 1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}$

Odpowiedź

$x = \frac{14}{5}$ , $y = \frac{9}{5}$ .

Ułamki w odpowiedzi to normalna sprawa - nie panikuj. Na maturze wynik nie musi być "ładny". Więcej o pracy z ułamkami w liczbach rzeczywistych na maturze.

Przykład 3 - Układ z zadania maturalnego

0/4

Układy równań

Treść: Suma dwóch liczb wynosi 20, a ich różnica to 6. Znajdź te liczby.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Ułóż układ. Niech $x$ - większa liczba, $y$ - mniejsza.
$\begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 6 \end{cases}$
Krok 2
Z pierwszego: $x = 20 - y$ . Podstaw do drugiego:
$(20 - y) - y = 6$
$20 - 2y = 6$
$2y = 14$
$y = 7$
Krok 3
$x = 20 - 7 = 13$ .

Odpowiedź

Liczby to 13 i 7.

W takim zadaniu klucz to poprawne ułożenie układu. Poćwicz więcej takich zadań w dziale układów równań.

Przykład 4 - Układ nieliniowy

0/4

Układy równań

Rozwiąż:

\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Z pierwszego: $y = 5 - x$ .
Krok 2
Podstaw do drugiego:
$x(5 - x) = 6$
$5x - x^2 = 6$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
Krok 3
Rozwiąż równanie kwadratowe. To znany trójmian - oblicz deltę:
$\Delta = 25 - 24 = 1$
$x_1 = 2, \quad x_2 = 3$
Krok 4
Dla $x = 2$ : $y = 5 - 2 = 3$ . Dla $x = 3$ : $y = 5 - 3 = 2$ .

Odpowiedź

$(x, y) = (2, 3)$ lub $(x, y) = (3, 2)$ .

Układy nieliniowe często pojawiają się w zadaniach otwartych na maturze. Metoda jest ta sama - wyznacz jedną zmienną, podstaw, rozwiąż równanie kwadratowe.

Przykład 5 - Układ z trzema niewiadomymi (bonus)

0/4

Układy równań

Rozwiąż:

\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Krok 1
Z drugiego równania: $x = y + 2$ .
Krok 2
Z trzeciego: $z = 3 - y$ .
Krok 3
Podstaw oba do pierwszego:
$(y + 2) + y + (3 - y) = 6$
$y + 5 = 6$
$y = 1$
Krok 4
$x = 1 + 2 = 3$ , $z = 3 - 1 = 2$ .

Odpowiedź

$x = 3$ , $y = 1$ , $z = 2$ .

Układy z trzema niewiadomymi rzadko pojawiają się na maturze podstawowej, ale warto umieć - zasada jest identyczna.

Kiedy NIE stosować metody podstawiania?

Metoda podstawiania działa zawsze, ale nie zawsze jest najszybsza. Lepiej użyj metody eliminacji (dodawania/odejmowania), gdy:

•Obie zmienne mają "wygodne" współczynniki, np. $2x + 3y = 7$ i $2x - y = 3$ - odejmij stronami i $x$ znika
•Wyznaczenie zmiennej daje brzydki ułamek

Lepiej użyj metody graficznej, gdy:

•Pytają o interpretację geometryczną (ile punktów wspólnych mają dwie proste)

Wszystkie metody znajdziesz w kompletnym przewodniku po układach równań.

Układ sprzeczny i nieoznaczony

Nie każdy układ ma jedno rozwiązanie.

Układ sprzeczny (brak rozwiązań):

\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}

Suma tych samych liczb nie może być jednocześnie 3 i 5. Geometrycznie: dwie równoległe proste.

Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań):

\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}

Drugie równanie to podwojone pierwsze. Geometrycznie: ta sama prosta. Na maturze rozpoznanie takiego układu to osobne pytanie - nie trać czasu na szukanie "jednego" rozwiązania.

Typowe pułapki

Błąd 1: Zapomnienie o nawiasie

Gdy podstawiasz $y = 3 - x$ do wyrażenia $2y$ , musisz napisać $2(3 - x)$ , nie $2 \cdot 3 - x$ . Nawias jest kluczowy. Przy minusie przed nawiasem, jak w $2x - (7 - x)$ , zmieniasz znak każdego wyrazu w środku, więcej o tym w tekście o rozkładaniu nawiasów z minusem.

Błąd 2: Podstawienie do tego samego równania

Wyznaczasz $y$ z pierwszego równania i... podstawiasz z powrotem do pierwszego. Dostajesz tożsamość typu $0 = 0$ . Musisz podstawić do DRUGIEGO równania.

Błąd 3: Zapomnienie o drugiej niewiadomej

Obliczasz $x$ , piszesz odpowiedź i... zapominasz o $y$ . Na maturze rozwiązanie układu to PARA liczb, nie jedna liczba. Przeczytaj o innych najczęstszych błędach maturalnych.

Podsumowanie - co musisz umieć

Wyznaczać jedną zmienną z prostszego równania
Podstawiać (z nawiasem!) do drugiego równania
Rozwiązywać powstałe równanie z jedną niewiadomą
Obliczać drugą zmienną po znalezieniu pierwszej
Sprawdzać wynik w obu równaniach
Rozpoznawać układy sprzeczne i nieoznaczone

Gotowy na ćwiczenia? Przejdź do zadań z układami równań i zacznij od najłatwiejszych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać metodą podstawiania układ z dwiema niewiadomymi?

Z jednego równania wyznaczasz jedną niewiadomą, na przykład $y = 7 - x$ , i wstawiasz to wyrażenie w nawiasie do drugiego równania. Zostaje równanie tylko z $x$ , które rozwiązujesz jak zwykłe równanie liniowe. Na koniec obliczasz $y$ z wyznaczonego wzoru i sprawdzasz parę liczb w obu równaniach układu.

Czym metoda podstawiania różni się od metody przeciwnych współczynników?

W metodzie podstawiania pozbywasz się niewiadomej, wstawiając jej wzór do drugiego równania. W metodzie przeciwnych współczynników mnożysz równania przez liczby tak, żeby przy jednej niewiadomej stały liczby przeciwne, a potem dodajesz równania stronami. Obie dają ten sam wynik: podstawianie jest szybsze, gdy któraś niewiadoma ma współczynnik $1$ albo $-1$ , i naturalne przy układach z równaniem typu $xy = 6$ .

Skąd wiadomo, że układ równań jest sprzeczny?

Po podstawieniu do drugiego równania niewiadoma znika i zostaje fałszywa równość, na przykład $3 = 5$ . Taki układ nie ma rozwiązań, a na wykresie to dwie proste równoległe. Gdy zamiast fałszu zostaje prawdziwa równość, na przykład $6 = 6$ , układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. Od czego zależy liczba rozwiązań, pokazujemy we wpisie o układzie równań z parametrem.

Czy metodą podstawiania rozwiążę układ, w którym jest równanie kwadratowe?

Tak. Z równania liniowego wyznaczasz jedną niewiadomą i wstawiasz ją do drugiego równania, tak jak w przykładzie z $x + y = 5$ i $xy = 6$ . Dostajesz równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, liczysz deltę i do każdego pierwiastka dobierasz drugą niewiadomą. Taki układ może mieć dwa rozwiązania, jedno albo żadnego.

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania - krok po kroku z przykładami

W skrócie

Dlaczego metoda podstawiania?

Na czym polega metoda podstawiania?

Metoda podstawiania z dwiema niewiadomymi: którą niewiadomą wyznaczyć

Przykład 1 - Prosty układ liniowy

Teraz ty

Przykład 2 - Współczynnik przy zmiennej

Przykład 3 - Układ z zadania maturalnego

Przykład 4 - Układ nieliniowy

Przykład 5 - Układ z trzema niewiadomymi (bonus)

Kiedy NIE stosować metody podstawiania?

Układ sprzeczny i nieoznaczony

Typowe pułapki

Błąd 1: Zapomnienie o nawiasie

Błąd 2: Podstawienie do tego samego równania

Błąd 3: Zapomnienie o drugiej niewiadomej

Podsumowanie - co musisz umieć

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać metodą podstawiania układ z dwiema niewiadomymi?

Czym metoda podstawiania różni się od metody przeciwnych współczynników?

Skąd wiadomo, że układ równań jest sprzeczny?

Czy metodą podstawiania rozwiążę układ, w którym jest równanie kwadratowe?

Kategoria: Układy równań

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Jak sprawdzać odpowiedzi na maturze z matematyki - 10 metod weryfikacji, które uratują Twoje punkty

Równania i nierówności na maturze - typy, metody i rozwiązania krok po kroku

Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów krok po kroku

W skrócie

Dlaczego metoda podstawiania?

Na czym polega metoda podstawiania?

Metoda podstawiania z dwiema niewiadomymi: którą niewiadomą wyznaczyć

Teraz ty

Kiedy NIE stosować metody podstawiania?

Układ sprzeczny i nieoznaczony

Typowe pułapki

Błąd 1: Zapomnienie o nawiasie

Błąd 2: Podstawienie do tego samego równania

Błąd 3: Zapomnienie o drugiej niewiadomej

Podsumowanie - co musisz umieć

Najczęstsze pytania

Jak rozwiązać metodą podstawiania układ z dwiema niewiadomymi?

Czym metoda podstawiania różni się od metody przeciwnych współczynników?

Skąd wiadomo, że układ równań jest sprzeczny?

Czy metodą podstawiania rozwiążę układ, w którym jest równanie kwadratowe?

Kategoria: Układy równań

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Czytaj dalej

Jak sprawdzać odpowiedzi na maturze z matematyki - 10 metod weryfikacji, które uratują Twoje punkty

Równania i nierówności na maturze - typy, metody i rozwiązania krok po kroku

Jak wyznaczyć zmienną ze wzoru - przekształcanie wzorów krok po kroku

Pliki cookie