Przejdź do treści
Układy równań

Jak rozwiązać układ równań metodą podstawiania - krok po kroku z przykładami

Metoda podstawiania do rozwiązywania układów równań wyjaśniona prosto. 5 rozwiązanych zadań od łatwych po maturalne, typowe błędy i kiedy stosować inne metody.

·4 min czytania

Dlaczego metoda podstawiania?

Układy równań to jeden z najpewniejszych tematów na maturze. Pojawiają się co roku - w zadaniach zamkniętych i otwartych. Metoda podstawiania to najczęściej stosowana metoda rozwiązywania. Jest prosta, intuicyjna i działa zawsze.

Na maturze układy równań pojawiają się nie tylko jako "czyste" zadania algebraiczne. Często musisz sam ułożyć układ na podstawie treści zadania - na przykład przy zadaniach z treścią o mieszankach, prędkościach czy cenach.

Na czym polega metoda podstawiania?

Masz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi:

{roˊwnanie 1roˊwnanie 2\begin{cases} \text{równanie 1} \\ \text{równanie 2} \end{cases}

Robisz trzy kroki:

  1. 1.Wyznacz jedną niewiadomą z jednego równania
  2. 2.Podstaw ją do drugiego równania (zostajesz z jedną niewiadomą)
  3. 3.Rozwiąż równanie z jedną niewiadomą, potem wróć i oblicz drugą

To wszystko. Teraz zobaczmy jak to działa na konkretnych przykładach.

Przykład 1 - Prosty układ liniowy

0/5
Układy równań

Rozwiąż układ:

{x+y=72x−y=2\begin{cases} x + y = 7 \\ 2x - y = 2 \end{cases}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Wyznacz yy z pierwszego równania (bo jest najprostsze):

    y=7−xy = 7 - x
  2. Krok 2

    Podstaw do drugiego równania:

    2x−(7−x)=22x - (7 - x) = 2
  3. Krok 3

    Rozwiąż:

    2x−7+x=22x - 7 + x = 2
    3x=93x = 9
    x=3x = 3
  4. Krok 4

    Wróć i oblicz yy:

    y=7−3=4y = 7 - 3 = 4
Odpowiedź:

x=3x = 3, y=4y = 4.

Sprawdzenie: Wstaw do obu równań:

  • •3+4=73 + 4 = 7 ✓\checkmark
  • •2⋅3−4=22 \cdot 3 - 4 = 2 ✓\checkmark

Zawsze sprawdzaj w obu równaniach. Jeśli rozwiązanie pasuje do jednego, ale nie do drugiego, popełniłeś błąd.

Przykład 2 - Współczynnik przy zmiennej

0/5
Układy równań

Rozwiąż układ:

{3x+2y=12x−y=1\begin{cases} 3x + 2y = 12 \\ x - y = 1 \end{cases}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Z drugiego równania wyznacz xx (bo nie ma współczynnika - a właściwie jest 1):

    x=1+yx = 1 + y
  2. Krok 2

    Podstaw do pierwszego:

    3(1+y)+2y=123(1 + y) + 2y = 12
  3. Krok 3

    Rozwiąż:

    3+3y+2y=123 + 3y + 2y = 12
    5y=95y = 9
    y=95y = \frac{9}{5}
  4. Krok 4
    x=1+95=145x = 1 + \frac{9}{5} = \frac{14}{5}
Odpowiedź:

x=145x = \frac{14}{5}, y=95y = \frac{9}{5}.

Ułamki w odpowiedzi to normalna sprawa - nie panikuj. Na maturze wynik nie musi być "ładny". Więcej o pracy z ułamkami w liczbach rzeczywistych na maturze.

Przykład 3 - Układ z zadania maturalnego

0/5
Układy równań

Treść: Suma dwóch liczb wynosi 20, a ich różnica to 6. Znajdź te liczby.

Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Ułóż układ. Niech xx - większa liczba, yy - mniejsza.

    {x+y=20x−y=6\begin{cases} x + y = 20 \\ x - y = 6 \end{cases}
  2. Krok 2

    Z pierwszego: x=20−yx = 20 - y. Podstaw do drugiego:

    (20−y)−y=6(20 - y) - y = 6
    20−2y=620 - 2y = 6
    2y=142y = 14
    y=7y = 7
  3. Krok 3

    x=20−7=13x = 20 - 7 = 13.

Odpowiedź:

Liczby to 13 i 7.

Ten typ zadania pojawia się na maturze niemal co roku. Klucz to poprawne ułożenie układu. Poćwicz więcej takich zadań w dziale układów równań.

Przykład 4 - Układ nieliniowy

0/5
Układy równań

Rozwiąż:

{x+y=5xy=6\begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 6 \end{cases}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Z pierwszego: y=5−xy = 5 - x.

  2. Krok 2

    Podstaw do drugiego:

    x(5−x)=6x(5 - x) = 6
    5x−x2=65x - x^2 = 6
    x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
  3. Krok 3

    Rozwiąż równanie kwadratowe. To znany trójmian - oblicz deltę:

    Δ=25−24=1\Delta = 25 - 24 = 1
    x1=2,x2=3x_1 = 2, \quad x_2 = 3
  4. Krok 4

    Dla x=2x = 2: y=5−2=3y = 5 - 2 = 3. Dla x=3x = 3: y=5−3=2y = 5 - 3 = 2.

Odpowiedź:

(x,y)=(2,3)(x, y) = (2, 3) lub (x,y)=(3,2)(x, y) = (3, 2).

Układy nieliniowe często pojawiają się w zadaniach otwartych na maturze. Metoda jest ta sama - wyznacz jedną zmienną, podstaw, rozwiąż równanie kwadratowe.

Przykład 5 - Układ z trzema niewiadomymi (bonus)

0/5
Układy równań

Rozwiąż:

{x+y+z=6x−y=2y+z=3\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x - y = 2 \\ y + z = 3 \end{cases}
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
  1. Krok 1

    Z drugiego równania: x=y+2x = y + 2.

  2. Krok 2

    Z trzeciego: z=3−yz = 3 - y.

  3. Krok 3

    Podstaw oba do pierwszego:

    (y+2)+y+(3−y)=6(y + 2) + y + (3 - y) = 6
    y+5=6y + 5 = 6
    y=1y = 1
  4. Krok 4

    x=1+2=3x = 1 + 2 = 3, z=3−1=2z = 3 - 1 = 2.

Odpowiedź:

x=3x = 3, y=1y = 1, z=2z = 2.

Układy z trzema niewiadomymi rzadko pojawiają się na maturze podstawowej, ale warto umieć - zasada jest identyczna.

Kiedy NIE stosować metody podstawiania?

Metoda podstawiania działa zawsze, ale nie zawsze jest najszybsza. Lepiej użyj metody eliminacji (dodawania/odejmowania), gdy:

  • •Obie zmienne mają "wygodne" współczynniki, np. 2x+3y=72x + 3y = 7 i 2x−y=32x - y = 3 - odejmij stronami i xx znika
  • •Wyznaczenie zmiennej daje brzydki ułamek

Lepiej użyj metody graficznej, gdy:

  • •Pytają o interpretację geometryczną (ile punktów wspólnych mają dwie proste)

Wszystkie metody znajdziesz w kompletnym przewodniku po układach równań.

Układ sprzeczny i nieoznaczony

Nie każdy układ ma jedno rozwiązanie.

Układ sprzeczny (brak rozwiązań):

{x+y=3x+y=5\begin{cases} x + y = 3 \\ x + y = 5 \end{cases}

Suma tych samych liczb nie może być jednocześnie 3 i 5. Geometrycznie: dwie równoległe proste.

Układ nieoznaczony (nieskończenie wiele rozwiązań):

{x+y=32x+2y=6\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}

Drugie równanie to podwojone pierwsze. Geometrycznie: ta sama prosta. Na maturze rozpoznanie takiego układu to osobne pytanie - nie trać czasu na szukanie "jednego" rozwiązania.

Typowe pułapki

Błąd 1: Zapomnienie o nawiasie

Gdy podstawiasz y=3−xy = 3 - x do wyrażenia 2y2y, musisz napisać 2(3−x)2(3 - x), nie 2⋅3−x2 \cdot 3 - x. Nawias jest kluczowy.

Błąd 2: Podstawienie do tego samego równania

Wyznaczasz yy z pierwszego równania i... podstawiasz z powrotem do pierwszego. Dostajesz tożsamość typu 0=00 = 0. Musisz podstawić do DRUGIEGO równania.

Błąd 3: Zapomnienie o drugiej niewiadomej

Obliczasz xx, piszesz odpowiedź i... zapominasz o yy. Na maturze rozwiązanie układu to PARA liczb, nie jedna liczba. Przeczytaj o innych najczęstszych błędach maturalnych.

Podsumowanie - co musisz umieć

  • Wyznaczać jedną zmienną z prostszego równania
  • Podstawiać (z nawiasem!) do drugiego równania
  • Rozwiązywać powstałe równanie z jedną niewiadomą
  • Obliczać drugą zmienną po znalezieniu pierwszej
  • Sprawdzać wynik w obu równaniach
  • Rozpoznawać układy sprzeczne i nieoznaczone

Gotowy na ćwiczenia? Przejdź do zadań z układami równań i zacznij od najłatwiejszych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Układy równań

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2376

zadań CKE

2000+

rozwiązań

1537

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Układ równań z parametrem - kiedy jedno, brak, nieskończenie wiele rozwiązań

Jak sprawdzić, ile rozwiązań ma układ równań z parametrem m? Metoda wyznacznikowa krok po kroku, dwa w pełni rozwiązane przykłady maturalne i checklista błędów, których unikają zdający z pełną liczbą punktów.

Strategia

Zadania CKE z układów równań z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Kompletna baza 29 zadań CKE z układów równań z rozwiązaniami krok po kroku: metoda podstawiania, liczba rozwiązań, zadania z parametrem i interpretacja geometryczna.

Rozwiązanie zadania

Jak rozwiązać układ równań metodą przeciwnych współczynników - krok po kroku z przykładami

Metoda przeciwnych współczynników (eliminacji) krok po kroku. 6 rozwiązanych układów równań z matury, kiedy wybrać tę metodę zamiast podstawiania i jakie pułapki na Ciebie czekają.