Jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową - krok po kroku

Funkcja kwadratowa ma trzy postacie: ogólną, kanoniczną i iloczynową. Każda z nich coś "pokazuje od razu" - w postaci kanonicznej widać wierzchołek paraboli, w iloczynowej miejsca zerowe, a w ogólnej punkt przecięcia z osią OY. Na maturze z matematyki umiejętność swobodnego przechodzenia między postaciami to jedna z najważniejszych kompetencji. Dosłownie każdy arkusz ma zadanie z funkcji kwadratowej, a często kilka.

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) to każda funkcja postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \ne 0$.

Postać ogólna:
$f(x) = ax^2 + bx + c$ Postać kanoniczna:
$f(x) = a(x - p)^2 + q$
gdzie $(p, q)$ to współrzędne wierzchołka paraboli. Postać iloczynowa:
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$
gdzie $x_1, x_2$ to miejsca zerowe funkcji (o ile istnieją).

Każda funkcja kwadratowa ma postać ogólną i kanoniczną. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy $delta \geq 0$.

Postać ogólna → kanoniczna: metoda wzorów

Najprostszy sposób: policz wierzchołek $(p, q)$ ze wzorów.

$p = \frac{-b}{2a}$ $q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$

Gotowe, wstawiasz do $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

Przykład 1: Z ogólnej do kanonicznej

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Zamień $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ na postać kanoniczną.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$.

Krok 2. Wierzchołek:
$p = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$ $q = f(2) = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$ Krok 3. Postać kanoniczna:
$f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$

Odpowiedź:

$f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$, wierzchołek $(2, -3)$.

Postać ogólna → kanoniczna: uzupełnianie do kwadratu

Druga metoda, która pokazuje mechanikę. Rzadziej używana, ale nauczyciele lubią ją w dowodach.

Pomysł: "dopełnij" $ax^2 + bx$ tak, żeby utworzył pełen kwadrat $a(x - p)^2$.

Przykład 2: Uzupełnianie do kwadratu

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Zamień $f(x) = x^2 + 6x + 5$ na postać kanoniczną przez uzupełnianie do kwadratu.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

$f(x) = x^2 + 6x + 5$

Dopełnij pierwsze dwa wyrazy do $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$:

$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$

Odpowiedź:

$f(x) = (x + 3)^2 - 4$, wierzchołek $(-3, -4)$.

Zauważ: $(x+3)^2$ oznacza $(x - (-3))^2$, więc $p = -3$.

Postać ogólna → iloczynowa: przez miejsca zerowe

1. 1.Oblicz deltę: $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. 2.Jeśli $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, postać iloczynowa: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
3. 3.Jeśli $\Delta = 0$: jedno miejsce zerowe $x_0 = \frac{-b}{2a}$, postać iloczynowa: $f(x) = a(x - x_0)^2$.
4. 4.Jeśli $\Delta < 0$: brak postaci iloczynowej.

Przykład 3: Z ogólnej do iloczynowej

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Zamień $f(x) = x^2 - 5x + 6$ na postać iloczynową.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{\Delta} = 1$.

Krok 2. Miejsca zerowe:
$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$ Krok 3. Postać iloczynowa:
$f(x) = (x - 2)(x - 3)$

Odpowiedź:

$f(x) = (x - 2)(x - 3)$.

Szybki trik: wzory Viète'a

Dla funkcji $x^2 - 5x + 6$ szukaj dwóch liczb, których suma wynosi 5, a iloczyn 6. To 2 i 3. Gotowe, bez liczenia delty.

Wzory Viète'a:
$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

Dla $a = 1$ (czyli $x^2 + bx + c$): suma = $-b$, iloczyn = $c$.

Postać kanoniczna → ogólna

Po prostu wymnóż nawias.

Przykład 4: Z kanonicznej do ogólnej

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Zamień $f(x) = 3(x - 1)^2 - 4$ na postać ogólną.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

$f(x) = 3(x^2 - 2x + 1) - 4 = 3x^2 - 6x + 3 - 4 = 3x^2 - 6x - 1$

Odpowiedź:

$f(x) = 3x^2 - 6x - 1$.

Postać iloczynowa → ogólna

Również wymnóż nawiasy.

$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2]$

Rozwiniętej postaci nauczysz się rozpoznawać po wzorach Viète'a.

Przykład 5: Z iloczynowej do ogólnej

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Zamień $f(x) = 2(x + 3)(x - 4)$ na postać ogólną.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

$f(x) = 2(x^2 + 3x - 4x - 12) = 2(x^2 - x - 12) = 2x^2 - 2x - 24$

Odpowiedź:

$f(x) = 2x^2 - 2x - 24$.

Kiedy której postaci używać

Postać ogólna - gdy:

• •Chcesz od razu zobaczyć $c$ (punkt przecięcia z osią OY to $(0, c)$).
• •Liczysz deltę / miejsca zerowe.
• •Podstawiasz do programu / kalkulatora.

Postać kanoniczna - gdy:

• •Szukasz wierzchołka paraboli.
• •Chcesz znaleźć wartość maksymalną / minimalną ($q$).
• •Rozwiązujesz zadanie optymalizacyjne (największa objętość, najmniejszy koszt).
• •Analizujesz przesunięcia wykresu względem $y = ax^2$.

Postać iloczynowa - gdy:

• •Znasz miejsca zerowe i chcesz podać wzór funkcji.
• •Rozwiązujesz nierówność kwadratową.
• •Szkicujesz wykres (wiadomo, gdzie przecina oś OX).

Przykład 6: Zadanie łączące postacie

Funkcja kwadratowa

Zadanie. Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $x_1 = -1$ i $x_2 = 3$, a wartość w punkcie $x = 1$ wynosi $-8$. Wyznacz jej wzór.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie.

Krok 1. Skoro znamy miejsca zerowe, piszemy postać iloczynową:
$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$ Krok 2. Z warunku $f(1) = -8$:
$a \cdot 2 \cdot (-2) = -8 \implies -4a = -8 \implies a = 2$ Krok 3. Wzór:
$f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$

Możesz też podać postać ogólną: $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$.

A wierzchołek? Oś symetrii jest w środku miejsc zerowych: $p = \frac{-1 + 3}{2} = 1$. Wartość $q = f(1) = -8$. Czyli postać kanoniczna to $f(x) = 2(x - 1)^2 - 8$.

Oś symetrii i znak paraboli

• •Oś symetrii paraboli to prosta $x = p$, gdzie $p$ to pierwsza współrzędna wierzchołka.
• •Jeśli $a > 0$, parabola jest "dnem do góry" (ramiona do góry), wartość najmniejsza = $q$.
• •Jeśli $a < 0$, parabola jest "dnem w dół" (ramiona w dół), wartość największa = $q$.

Ta prosta obserwacja jest fundamentem zadań optymalizacyjnych.

Typowe pułapki

1. 1.Mylenie znaków $p$ w postaci kanonicznej - $(x + 3)^2$ to $(x - (-3))^2$, czyli $p = -3$, nie $p = 3$.
2. 2.Zapominanie o $a$ - jeśli $a \ne 1$, postać kanoniczna to $a(x - p)^2 + q$, nie samo $(x - p)^2 + q$.
3. 3.Liczenie wierzchołka bez funkcji - $q$ to wartość funkcji w $p$, więc $q = f(p)$. Ludzie często zapominają podstawić z powrotem.
4. 4.Brak postaci iloczynowej przy $\Delta < 0$ - pamiętaj, że nie zawsze istnieje.
5. 5.Pomieszanie $p$ i $q$ - $p$ to x-owa wierzchołka (oś symetrii), $q$ to y-owa (wartość ekstremalna).

Wierzchołek ze wzorów Viète'a - szybki trik

Jeśli znasz miejsca zerowe $x_1, x_2$, to $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ (środek między miejscami zerowymi). To najszybszy sposób na znalezienie wierzchołka dla funkcji, którą umiesz zapisać iloczynowo.

Co musisz umieć na maturę

Powiązane tematy

• •Funkcja kwadratowa na maturze - pełen przewodnik
• •Jak obliczyć deltę - fundament do postaci iloczynowej
• •Jak znaleźć wierzchołek paraboli - 3 metody na $p$ i $q$
• •Wzory Viete'a - szybkie wyznaczanie miejsc zerowych
• •Jak narysować wykres funkcji kwadratowej - wizualizacja paraboli
• •Nierówności kwadratowe na maturze - zastosowanie postaci iloczynowej

Ćwicz na zadaniach maturalnych w dziale funkcja kwadratowa - tam masz setki zadań z poprzednich matur.

Następny krok Losuj kolejne zadanie