Jak przekształcić funkcję kwadratową na postać kanoniczną i iloczynową - krok po kroku

Funkcja kwadratowa ma trzy postacie: ogólną, kanoniczną i iloczynową. Każda z nich coś "pokazuje od razu" - w postaci kanonicznej widać wierzchołek paraboli, w iloczynowej miejsca zerowe, a w ogólnej punkt przecięcia z osią OY. Na maturze z matematyki umiejętność swobodnego przechodzenia między postaciami to jedna z najważniejszych kompetencji. Dosłownie każdy arkusz ma zadanie z funkcji kwadratowej, a często kilka.

Trzy postacie funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa (inaczej: trójmian kwadratowy) to każda funkcja postaci $f(x) = ax^2 + bx + c$, gdzie $a \ne 0$.

Postać ogólna:
$$f(x) = ax^2 + bx + c$$ Postać kanoniczna:
$$f(x) = a(x - p)^2 + q$$
gdzie $(p, q)$ to współrzędne wierzchołka paraboli. Postać iloczynowa:
$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$$
gdzie $x_1, x_2$ to miejsca zerowe funkcji (o ile istnieją).

Każda funkcja kwadratowa ma postać ogólną i kanoniczną. Postać iloczynowa istnieje tylko wtedy, gdy $delta \geq 0$.

Postać ogólna → kanoniczna: metoda wzorów

Najprostszy sposób: policz wierzchołek $(p, q)$ ze wzorów.

$$p = \frac{-b}{2a}$$ $$q = \frac{-\Delta}{4a} = f(p)$$

Gotowe, wstawiasz do $f(x) = a(x - p)^2 + q$.

Przykład 1: Z ogólnej do kanonicznej

Zadanie. Zamień $f(x) = 2x^2 - 8x + 5$ na postać kanoniczną.

Rozwiązanie.

Krok 1. $a = 2$, $b = -8$, $c = 5$.

Krok 2. Wierzchołek:
$$p = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$$ $$q = f(2) = 2 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3$$ Krok 3. Postać kanoniczna:
$$f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$$

Odpowiedź: $f(x) = 2(x - 2)^2 - 3$, wierzchołek $(2, -3)$.

Postać ogólna → kanoniczna: uzupełnianie do kwadratu

Druga metoda, która pokazuje mechanikę. Rzadziej używana, ale nauczyciele lubią ją w dowodach.

Pomysł: "dopełnij" $ax^2 + bx$ tak, żeby utworzył pełen kwadrat $a(x - p)^2$.

Przykład 2: Uzupełnianie do kwadratu

Zadanie. Zamień $f(x) = x^2 + 6x + 5$ na postać kanoniczną przez uzupełnianie do kwadratu.

Rozwiązanie.

$$f(x) = x^2 + 6x + 5$$

Dopełnij pierwsze dwa wyrazy do $(x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9$:

$$f(x) = (x^2 + 6x + 9) - 9 + 5 = (x + 3)^2 - 4$$

Odpowiedź: $f(x) = (x + 3)^2 - 4$, wierzchołek $(-3, -4)$.

Zauważ: $(x+3)^2$ oznacza $(x - (-3))^2$, więc $p = -3$.

Postać ogólna → iloczynowa: przez miejsca zerowe

1. Oblicz deltę: $\Delta = b^2 - 4ac$.
2. Jeśli $\Delta > 0$: dwa miejsca zerowe $x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$, $x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$, postać iloczynowa: $f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$.
3. Jeśli $\Delta = 0$: jedno miejsce zerowe $x_0 = \frac{-b}{2a}$, postać iloczynowa: $f(x) = a(x - x_0)^2$.
4. Jeśli $\Delta < 0$: brak postaci iloczynowej.

Przykład 3: Z ogólnej do iloczynowej

Zadanie. Zamień $f(x) = x^2 - 5x + 6$ na postać iloczynową.

Rozwiązanie.

Krok 1. $\Delta = 25 - 24 = 1$, $\sqrt{\Delta} = 1$.

Krok 2. Miejsca zerowe:
$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ Krok 3. Postać iloczynowa:
$$f(x) = (x - 2)(x - 3)$$

Odpowiedź: $f(x) = (x - 2)(x - 3)$.

Szybki trik: wzory Viète'a

Dla funkcji $x^2 - 5x + 6$ szukaj dwóch liczb, których suma wynosi 5, a iloczyn 6. To 2 i 3. Gotowe, bez liczenia delty.

Wzory Viète'a:
$$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$$

Dla $a = 1$ (czyli $x^2 + bx + c$): suma = $-b$, iloczyn = $c$.

Postać kanoniczna → ogólna

Po prostu wymnóż nawias.

Przykład 4: Z kanonicznej do ogólnej

Zadanie. Zamień $f(x) = 3(x - 1)^2 - 4$ na postać ogólną.

Rozwiązanie.

$$f(x) = 3(x^2 - 2x + 1) - 4 = 3x^2 - 6x + 3 - 4 = 3x^2 - 6x - 1$$

Odpowiedź: $f(x) = 3x^2 - 6x - 1$.

Postać iloczynowa → ogólna

Również wymnóż nawiasy.

$$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2) = a[x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 x_2]$$

Rozwiniętej postaci nauczysz się rozpoznawać po wzorach Viète'a.

Przykład 5: Z iloczynowej do ogólnej

Zadanie. Zamień $f(x) = 2(x + 3)(x - 4)$ na postać ogólną.

Rozwiązanie.

$$f(x) = 2(x^2 + 3x - 4x - 12) = 2(x^2 - x - 12) = 2x^2 - 2x - 24$$

Odpowiedź: $f(x) = 2x^2 - 2x - 24$.

Kiedy której postaci używać

Postać ogólna - gdy:

Postać kanoniczna - gdy:

Postać iloczynowa - gdy:

Przykład 6: Zadanie łączące postacie

Zadanie. Funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe $x_1 = -1$ i $x_2 = 3$, a wartość w punkcie $x = 1$ wynosi $-8$. Wyznacz jej wzór.

Rozwiązanie.

Krok 1. Skoro znamy miejsca zerowe, piszemy postać iloczynową:
$$f(x) = a(x + 1)(x - 3)$$ Krok 2. Z warunku $f(1) = -8$:
$$a \cdot 2 \cdot (-2) = -8 \implies -4a = -8 \implies a = 2$$ Krok 3. Wzór:
$$f(x) = 2(x + 1)(x - 3)$$

Możesz też podać postać ogólną: $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$.

A wierzchołek? Oś symetrii jest w środku miejsc zerowych: $p = \frac{-1 + 3}{2} = 1$. Wartość $q = f(1) = -8$. Czyli postać kanoniczna to $f(x) = 2(x - 1)^2 - 8$.

Oś symetrii i znak paraboli

Ta prosta obserwacja jest fundamentem zadań optymalizacyjnych.

Typowe pułapki

1. Mylenie znaków $p$ w postaci kanonicznej - $(x + 3)^2$ to $(x - (-3))^2$, czyli $p = -3$, nie $p = 3$.
2. Zapominanie o $a$ - jeśli $a \ne 1$, postać kanoniczna to $a(x - p)^2 + q$, nie samo $(x - p)^2 + q$.
3. Liczenie wierzchołka bez funkcji - $q$ to wartość funkcji w $p$, więc $q = f(p)$. Ludzie często zapominają podstawić z powrotem.
4. Brak postaci iloczynowej przy $\Delta < 0$ - pamiętaj, że nie zawsze istnieje.
5. Pomieszanie $p$ i $q$ - $p$ to x-owa wierzchołka (oś symetrii), $q$ to y-owa (wartość ekstremalna).

Wierzchołek ze wzorów Viète'a - szybki trik

Jeśli znasz miejsca zerowe $x_1, x_2$, to $p = \frac{x_1 + x_2}{2}$ (środek między miejscami zerowymi). To najszybszy sposób na znalezienie wierzchołka dla funkcji, którą umiesz zapisać iloczynowo.

Co musisz umieć na maturę

Powiązane tematy

Ćwicz na zadaniach maturalnych w dziale funkcja kwadratowa - tam masz setki zadań z poprzednich matur.