Nierówności kwadratowe na maturze - metoda graficzna krok po kroku z rozwiązanymi zadaniami

Nierówności kwadratowe - jedna metoda, która zawsze działa

Nierówność kwadratowa to nierówność postaci:

$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{(lub } \geq, <, \leq \text{)}$

gdzie $a \neq 0$. Brzmi groźnie, ale rozwiązywanie nierówności kwadratowych sprowadza się do trzech kroków:

1. 1.Oblicz deltę i miejsca zerowe
2. 2.Naszkicuj parabolę
3. 3.Odczytaj odpowiedź z wykresu

Tę metodę nazywamy metodą graficzną. Działa na każdą nierówność kwadratową bez wyjątku. Zapomnij o rozpatrywaniu przypadków i tablicach znaków - wykres mówi wszystko.

---

Krok 1 - delta i miejsca zerowe

Nierówność $ax^2 + bx + c > 0$ to pytanie: dla jakich $x$ wykres funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$ leży nad osią OX?

Żeby narysować wykres, potrzebujesz miejsc zerowych. Oblicz deltę:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Jeśli $\Delta > 0$, masz dwa miejsca zerowe:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$

Jeśli $\Delta = 0$, jedno podwójne miejsce zerowe: $x_0 = \frac{-b}{2a}$.

Jeśli $\Delta < 0$, parabola nie przecina osi OX (brak miejsc zerowych).

Więcej o delcie i wzorach: delta w równaniu kwadratowym.

---

Krok 2 - szkic paraboli

Musisz wiedzieć tylko jedno:

• •Jeśli $a > 0$ - parabola ma ramiona do góry (uśmiechnięta)
• •Jeśli $a < 0$ - parabola ma ramiona w dół (smutna)

Zaznacz miejsca zerowe na osi OX i narysuj parabolę. Nie musisz rysować dokładnie - wystarczy szkic.

---

Krok 3 - odczytaj odpowiedź

Teraz patrzysz na wykres:

• •$ax^2 + bx + c > 0$ - szukasz, gdzie parabola jest nad osią OX
• •$ax^2 + bx + c < 0$ - szukasz, gdzie parabola jest pod osią OX
• •Jeśli w nierówności jest $\geq$ lub $\leq$ - dołączasz miejsca zerowe do rozwiązania

Odpowiedź zapisujesz przedziałami, na przykład $x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$, albo nierównościami: $x < 2$ lub $x > 3$. Oba zapisy są poprawne, byle nie mieszać ich w jednej odpowiedzi.

I to tyle. Przejdźmy do przykładów.

---

Tabela podsumowująca - jak odczytać wynik z wykresu

Dla nierówności $ax^2 + bx + c$ z miejscami zerowymi $x_1 < x_2$:

Tę tabelkę warto mieć w głowie - ale jeśli rysujesz parabolę, nie musisz jej pamiętać. Wystarczy patrzeć na wykres.

Ta tabela zakłada dwa miejsca zerowe. Gdy delta nie jest dodatnia, miejsce zerowe jest jedno ($x_0$) albo nie ma go wcale. Dla $a > 0$ wyniki wyglądają tak:

Dla $a < 0$ pomnóż nierówność przez $-1$, odwróć jej znak i czytaj z tej samej tabeli.

---

Najczęstsze błędy

1. Zapominanie o znaku przy $a$

Jeśli $a < 0$, ramiona idą w dół. To odwraca wszystkie przedziały. Zawsze sprawdź znak przy $x^2$.

2. Mylenie nawiasów

• •Nawias okrągły $($ - punkt nie należy do rozwiązania (nierówność ostra: $>$, $<$)
• •Nawias kwadratowy $[$ - punkt należy do rozwiązania (nieostra: $\geq$, $\leq$)

Przy nieskończoności zawsze stoi nawias okrągły: $(-\infty, 2]$, nigdy $[-\infty, 2]$. W zasadach oceniania CKE i w wielu podręcznikach przedział domknięty zapisuje się nawiasami ostrymi, $\langle 1, 3 \rangle$ zamiast $[1, 3]$. To ten sam przedział.

3. Dzielenie przez liczbę ujemną

Jeśli dzielisz obie strony nierówności przez liczbę ujemną, musisz odwrócić znak nierówności. Bezpieczniej: nie dziel, po prostu oblicz deltę z oryginalnymi współczynnikami.

4. Delta ujemna to nie zawsze brak rozwiązań

$\Delta < 0$ znaczy tylko, że parabola nie przecina osi OX. Rozwiązaniem nierówności może być wtedy cały zbiór $\mathbb{R}$, tak jak w przykładzie 3. Zbiór pusty wychodzi dopiero wtedy, gdy parabola leży po złej stronie osi.

5. Nierówność nie w postaci ogólnej

Przy $3x^2 > 2x + 5$ nie licz delty z liczb, które widzisz. Najpierw przenieś wszystko na jedną stronę: $3x^2 - 2x - 5 > 0$, dopiero potem $a = 3$, $b = -2$, $c = -5$.

6. Pomieszana kolejność miejsc zerowych

W przedziale mniejsza liczba stoi zawsze z lewej. Gdy $a < 0$, wzór daje $x_1 > x_2$ (jak w przykładzie 2), więc przed zapisaniem odpowiedzi ustaw miejsca zerowe rosnąco.

---

Połączenie z innymi tematami

Nierówności kwadratowe pojawiają się nie tylko w "czystej" postaci. Przydają się przy:

• •Wyznaczaniu dziedziny funkcji z pierwiastkiem: $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$ wymaga rozwiązania $x^2 - 4 \geq 0$
• •Określaniu, kiedy funkcja kwadratowa przyjmuje wartości dodatnie
• •Zadaniach z parametrem na maturze rozszerzonej
• •Wyznaczaniu warunku na $\Delta$ - np. "dla jakich $m$ równanie ma dwa rozwiązania" to nierówność $\Delta > 0$

Więcej o równaniach kwadratowych: równania kwadratowe na maturze - wyróżnik, wzory Viète'a.

---

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Rozwiąż nierówności i sprawdź odpowiedzi poniżej:

1. 1.$x^2 - 7x + 10 \leq 0$
2. 2.$-x^2 + 6x - 8 > 0$
3. 3.$4x^2 - 4x + 1 > 0$
4. 4.$x^2 + 3x + 5 < 0$
5. 5.$3x^2 + x - 2 \geq 0$

Odpowiedzi

1. 1.$x \in [2, 5]$
2. 2.$x \in (2, 4)$
3. 3.$x \in \mathbb{R} \setminus \{\frac{1}{2}\}$, czyli $x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$
4. 4.$x \in \emptyset$ (brak rozwiązań - $\Delta < 0$, $a > 0$)
5. 5.$\Delta = 25$, $x_1 = -1, x_2 = \frac{2}{3}$, odpowiedź: $x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)$

Ćwicz więcej zadań z nierówności na Sprawnej Maturze - mamy ich tam ponad 90.

• CKE 2015-2023 PP1 pkt
  Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział $(-3,1)$.
• CKE 2015-2023 PP1 pkt
  Równanie $\frac{3(2-x)}{4x-3}=\frac{3}{2}$ nie ma takiego samego rozwiązania, jak równanie:
• CKE 2023 PP1 pkt
  Dana jest nierówność: $|x − 3|\ge 5$ Na którym rysunku prawidłowo zaznaczono na osi liczbowej zbiór wszystkich liczb spełniających powyższą nierówność? Zaznacz właściwą odpowiedź spośród podanych.
• CKE 2023 PP2 pkt
  Rozwiąż równanie: $\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)}=0$
• CKE 2023 PP3 pkt
  Rozwiąż równanie $(x-1)^4-5(x-1)^2+6=0$
• CKE 2023 PP2 pktGeometria analityczna
  Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych $(x, y)$, dane są okrąg $O$ o środku w punkcie $S = (3, -4)$ i prosta $k$ o równaniu $2x - y - 11 = 0$. Okrąg $O$ jest styczny do prostej $k$ w punkcie $P$.
  
  Wyznacz i zapisz równanie okręgu $O$.

Następny krok Losuj kolejne zadanie