Zadania maturalne z planimetrii CKE z rozwiązaniami - baza wg działu

Cała planimetria CKE w jednym miejscu

Planimetria to jeden z najobszerniejszych działów na maturze z matematyki - w naszej bazie CKE jest jej 269 zadań, więcej niż trygonometrii czy logarytmów. Pojawia się w każdym arkuszu, i w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, i w otwartych dowodach za 3-4 punkty. Jeśli opanujesz planimetrię, masz pod kontrolą sporą część egzaminu.

Ta strona to hub: zebraliśmy tu prawdziwe zadania CKE z planimetrii, najważniejsze wzory i twierdzenia oraz rozwiązane przykłady krok po kroku. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie na stronie tematu Planimetria, a poniżej pokazujemy, jak je rozgryzać. Jeśli wolisz najpierw powtórzyć teorię, zacznij od przewodnika planimetria na maturze - figury, pola, twierdzenia.

Co obejmuje planimetria na maturze

Planimetria to geometria płaska, czyli wszystko, co dzieje się na kartce: trójkąty, czworokąty, okręgi i kąty. Oto najważniejsze podtematy i ich waga na egzaminie.

Każdy z tych podtematów ma swoje pewne punkty. Kąty w okręgu i podobieństwo to często gotowe zadania za 1 punkt, jeśli znasz schemat. Dowody w trójkątach i czworokątach to 2-4 punkty, które wielu uczniów odpuszcza, a szkoda - one są powtarzalne.

Wzory i twierdzenia, które musisz znać

Bez tych narzędzi nie ruszysz większości zadań. Naucz się ich na pamięć, choć część jest w karcie wzorów CKE.

Pole trójkąta liczysz na kilka sposobów, zależnie od danych:

$$P = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} a b \sin\gamma = \frac{abc}{4R} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

gdzie $p = \frac{a+b+c}{2}$ to połowa obwodu, a $R$ to promień okręgu opisanego. Cały zestaw wzorów na pole rozbieramy w poradniku pole trójkąta - 8 wzorów.

Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od kąta środkowego opartego na tym samym łuku:

$$\alpha_{wpisany} = \frac{1}{2}\alpha_{srodkowy}$$

Styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności - to klucz do zadań ze stycznymi. Więcej o kątach w okręgu znajdziesz w kąty w figurach.

Przy figurach podobnych w skali $k$ stosunek pól jest równy $k^2$:

$$\frac{P_1}{P_2} = k^2$$

To jedna z najczęstszych pułapek - uczniowie mnożą pole przez $k$ zamiast przez $k^2$. Podobieństwo trójkątów omawiamy szerzej w trójkąty podobne - cechy, skala.

Do tego dwa klasyki: twierdzenie Pitagorasa oraz twierdzenie Talesa. Bez nich połowa zadań z trójkątów nie ruszy.

Rozwiązane zadania CKE krok po kroku

Teraz konkret. Poniżej prawdziwe zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami. Numery zadań linkują do pełnych rozwiązań w bazie, gdzie możesz też zobaczyć podobne przykłady.

Zadanie 1

Dany jest trójkąt o bokach $a$, $b$, $c$, przy czym $a:b:c = 3:5:7$. Które zdanie jest fałszywe?

Podejdź do tego procentowo. Przyjmij $a = 3$, $b = 5$, $c = 7$, wtedy $a+b+c = 15$. Sprawdzamy zdanie, że $b$ to $60\%$ liczby $c$: $\frac{b}{c} = \frac{5}{7} \approx 71{,}4\%$, a nie $60\%$. To zdanie jest fałszywe. Pozostałe się zgadzają: $a$ stanowi $\frac{3}{15} = 20\%$ sumy, $a$ to $\frac{3}{12} = 25\%$ liczby $b+c$, a $c$ jest o $\frac{8-7}{8} = 12{,}5\%$ mniejsze od $a+b$. To typowe zadanie zamknięte za 1 punkt, w którym liczy się spokojne sprawdzenie każdej opcji.

Zadanie 2

W trójkącie $ABC$ punkt $D$ jest środkiem boku $AB$ oraz $|CD| = |CB|$. Bok $CB$ przedłużono tak, że $|CB| = |BE|$. Wykaż, że $|AC| = |DE|$.

To dowód za 2 punkty. Porównaj trójkąty $ADC$ i $DBE$. Mamy $|AD| = |DB|$, bo $D$ jest środkiem $AB$. Mamy też $|DC| = |BE|$, bo $|DC| = |CB| = |BE|$. Zostaje kąt między tymi bokami. Trójkąt $CDB$ jest równoramienny ($|CD| = |CB|$), więc kąty przy podstawie są równe: $\angle CDB = \angle DBC$. Ponieważ punkty $A$, $D$, $B$ leżą na jednej prostej, to $\angle ADC = 180^\circ - \angle CDB$. Podobnie $C$, $B$, $E$ są współliniowe, więc $\angle DBE = 180^\circ - \angle DBC$. Stąd $\angle ADC = \angle DBE$. Trójkąty $ADC$ i $DBE$ są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, więc $|AC| = |DE|$. To kończy dowód. Jak pisać takie uzasadnienia, tłumaczymy w jak rozwiązywać zadania otwarte.

Zadanie 3

Trójkąt $T$ jest podobny do $T_1$ w skali $k = \frac{1}{6}$, a trójkąt $T_2$ jest podobny do $T$ w skali $k = 3$. Pole $T_2$ wynosi $24$. Jakie pole ma $T_1$?

Tu wszystko rozgrywa się na stosunku pól $k^2$. Skoro $T_2$ jest podobny do $T$ w skali $3$, to $P_{T_2} = 3^2 \cdot P_T = 9 P_T$, więc $P_T = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$. Z kolei $T$ jest podobny do $T_1$ w skali $\frac{1}{6}$, czyli $P_T = \left(\frac{1}{6}\right)^2 P_{T_1} = \frac{1}{36} P_{T_1}$. Stąd $P_{T_1} = 36 \cdot \frac{8}{3} = 96$. Poprawna odpowiedź to $96$. Cała trudność to pamiętać, że pole skaluje się kwadratem skali, a nie samą skalą.

Zadanie 4

Z punktu $P$ na zewnątrz okręgu o środku $O$ poprowadzono dwie styczne, które przecinają się pod kątem $50^\circ$. Punkty styczności to $A$ i $B$. Ile wynosi miara kąta $AOB$?

Wykorzystaj fakt, że styczna jest prostopadła do promienia w punkcie styczności, więc $\angle OAP = \angle OBP = 90^\circ$. Czworokąt $OAPB$ ma sumę kątów $360^\circ$. Stąd $\angle AOB = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ = 130^\circ$. Odpowiedź to $130^\circ$. To klasyczny schemat ze stycznymi - gdy tylko zobaczysz styczną i promień, dorysuj kąt prosty.

Zadanie 5

Dany jest trójkąt $ABC$, którego boki zawierają się w prostych $y = \frac{1}{2}x + 1$, $y = 7 - x$ oraz $y = 0$. Oblicz pole trójkąta $ABC$.

To zadanie łączy planimetrię z geometrią analityczną. Najpierw znajdź wierzchołki, czyli punkty przecięcia prostych. Proste $y = \frac{1}{2}x + 1$ i $y = 0$ przecinają się w punkcie $(-2, 0)$. Proste $y = 7 - x$ i $y = 0$ dają $(7, 0)$. Dwie ukośne proste przecinają się tam, gdzie $\frac{1}{2}x + 1 = 7 - x$, czyli $\frac{3}{2}x = 6$, stąd $x = 4$ i $y = 3$, więc punkt $(4, 3)$. Podstawa leży na osi $OX$ i ma długość $7 - (-2) = 9$, a wysokość to $y = 3$. Pole wynosi $P = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 3 = \frac{27}{2}$. Gdy boki są dane równaniami prostych, prawie zawsze opłaca się wziąć bok na osi jako podstawę.

Zadanie 6

Rozważ prostokąt o polu mniejszym od $24$, w którym jeden bok jest dłuższy od drugiego o $5$. Oblicz długość dłuższego boku, jeśli jest ona całkowitą liczbą parzystą.

To zadanie sprawdza, czy umiesz zamienić warunek z treści na nierówność. Oznacz krótszy bok przez $a$, wtedy dłuższy to $a + 5$, a pole wynosi $a(a+5)$. Warunek pola daje nierówność $a(a+5) < 24$. Dłuższy bok ma być całkowity i parzysty, więc sprawdzamy kandydatów. Dla dłuższego boku równego $6$ krótszy to $1$, a pole $6 \cdot 1 = 6 < 24$ - warunek spełniony. Dla dłuższego boku równego $8$ krótszy to $3$, a pole $8 \cdot 3 = 24$, co nie jest mniejsze od $24$. Większe wartości dają jeszcze większe pole. Pasuje więc tylko $6$ i to jest odpowiedź. Morał: gdy w treści jest "mniejsze od", od razu zapisz nierówność, a nie równanie.

Typowe pułapki w planimetrii

Pierwsza i najczęstsza: skala pól. Przy figurach podobnych pole zmienia się jak $k^2$, nie jak $k$. Połowa błędów w zadaniach o podobieństwie bierze się właśnie stąd.

Druga: mylenie kąta wpisanego ze środkowym. Kąt wpisany jest dwa razy mniejszy od środkowego opartego na tym samym łuku. Jeśli pomylisz, który jest który, masz wynik dwa razy za duży lub za mały.

Trzecia: zapominanie o kącie prostym między styczną a promieniem. To darmowa informacja w każdym zadaniu ze styczną - dorysuj ten kąt prosty od razu.

Czwarta: w dowodach brak jasnego wskazania cechy przystawania. Sprawdzający chce zobaczyć, że napisałeś, na jakiej podstawie trójkąty są przystające (bok-kąt-bok, kąt-bok-kąt). Bez tego tracisz punkt, nawet gdy wynik jest dobry. Więcej o najczęstszych potknięciach w najczęstszych błędach na maturze.

Jak ćwiczyć planimetrię z bazą CKE

Nie ucz się planimetrii czytaniem. Ucz się jej zadaniami. Schemat, który działa: wybierz jeden podtemat, na przykład kąty w okręgu, zrób 10-15 zadań pod rząd i dopiero potem przejdź dalej. Powtarzalność buduje odruch, dzięki któremu na maturze rozpoznasz typ zadania w kilka sekund.

Wejdź na stronę tematu Planimetria i przerabiaj zadania działami. Gdy utkniesz, użyj solvera, żeby zobaczyć pełne rozwiązanie. Co kilka dni rób losowe zadanie z różnych działów, żeby nie zapomnieć starszego materiału, a postępy śledź na stronie postępów. Gdy poczujesz się pewnie, sprawdź się na symulatorze pełnej matury.

Jeśli planimetrię masz już opanowaną, naturalnym kolejnym krokiem jest hub zadań CKE z geometrii analitycznej - oba działy często łączą się w jednym zadaniu, jak w Zadaniu 5 powyżej. A jeśli dopiero wybierasz narzędzie do nauki, zobacz nasz ranking aplikacji i stron do nauki matematyki.

Najczęstsze pytania

Ile zadań z planimetrii jest na maturze? Zwykle kilka, rozłożonych między zadania zamknięte i co najmniej jedno otwarte. To stabilny, powtarzalny dział, dlatego warto go domknąć.

Czy trzeba znać dowody? Tak, bo dowody planimetryczne to częste 2-3 punkty. Są powtarzalne - opanuj kilka schematów (przystawanie, kąty w okręgu, podobieństwo) i poradzisz sobie z większością.

Od czego zacząć, jeśli planimetria mi nie wchodzi? Od trójkątów i podstawowych wzorów na pole, potem kąty w okręgu, na końcu dowody. Korzystaj z przewodnika po planimetrii i ćwicz zadaniami z bazy.

Podsumowanie

Planimetria to dział, który wynagradza systematyczność. Masz tu 269 zadań CKE, komplet wzorów i powtarzalne schematy. Naucz się liczyć pole trójkąta na kilka sposobów, opanuj kąty w okręgu i skalę pól $k^2$, przećwicz kilka dowodów - i z planimetrii zdobędziesz pewne punkty. Zacznij teraz: otwórz stronę tematu Planimetria i zrób pierwsze pięć zadań krok po kroku.