Wartości funkcji trygonometrycznych - tabela sin, cos, tg dla kątów 0, 30, 45, 60, 90 stopni

Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 0, 30, 45, 60 i 90 stopni to absolutny fundament matury z matematyki. Pojawiają się w zadaniach z trygonometrii, planimetrii, stereometrii i geometrii analitycznej. Jeśli nie znasz ich na pamięć, tracisz czas i punkty na egzaminie.

Dobra wiadomość: nie musisz się ich uczyć na pamięć jak wiersza. Pokażę ci, skąd się te wartości biorą, dam prosty trik na zapamiętanie i przejdziemy przez zadania maturalne.

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych

Oto kompletna tabela, którą musisz znać:

Zauważ wzorzec: wartości sinusa rosną (0, 1/2, √2/2, √3/2, 1), a cosinusa maleją (1, √3/2, √2/2, 1/2, 0). To dlatego, że $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$.

Skąd się biorą te wartości?

Kąt 45° - trójkąt równoramienno-prostokątny

Weź kwadrat o boku 1 i podziel go przekątną. Dostajesz trójkąt 45-45-90 z bokami $1, 1, \sqrt{2}$.

Z definicji w trójkącie prostokątnym:

$\sin 45° = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 45° = \frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\operatorname{tg} 45° = \frac{1}{1} = 1$

Kąty 30° i 60° - trójkąt równoboczny

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i podziel go wysokością na pół. Dostajesz trójkąt 30-60-90 z bokami $1, \sqrt{3}, 2$.

Dla kąta 30°:

$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dla kąta 60°:

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Trik na zapamiętywanie - metoda "korzeni"

Wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno:

$\frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{4}}{2}$

Czyli pod pierwiastkiem masz 0, 1, 2, 3, 4 - a w mianowniku zawsze 2.

Dla cosinusa to samo, ale od tyłu: $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$.

Ten trik pozwala odtworzyć całą tabelę w 10 sekund na maturze.

Wartości trygonometryczne a karta wzorów CKE

Ważna informacja: tabela wartości trygonometrycznych jest na karcie wzorów CKE. Ale znając ją na pamięć, nie tracisz czasu na szukanie i unikasz pomyłek przy przepisywaniu. Na maturze każda minuta się liczy.

Rozwiązane zadania maturalne

Zadanie 1: Obliczanie wyrażeń trygonometrycznych

Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2 60° + \cos^2 30° - \operatorname{tg} 45°$.

Rozwiązanie:

Podstawiamy wartości z tabeli:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $\frac{1}{2}$.

Zadanie 2: Bok trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Oblicz długości przyprostokątnych.

Rozwiązanie:

Kąty trójkąta: 90°, 30°, 60°.

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 30°:

$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 60°:

$b = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$

Sprawdzenie (twierdzenie Pitagorasa): $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$. Zgadza się.

Zadanie 3: Pole trójkąta z kątem

Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długości 6 cm i 8 cm, a kąt między nimi wynosi 60°.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Odpowiedź: $P = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78$ cm².

Zadanie 4: Trygonometria w zadaniu zamkniętym

Jeśli $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\alpha \in (0°, 90°)$, to $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy:

A) $\frac{1}{2}$    B) $\sqrt{3}$    C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$    D) $2$

Rozwiązanie:

Z tabeli: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $\alpha = 60°$.

Odczytujemy: $\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$.

Odpowiedź: B)

To typowe zadanie zamknięte - rozwiązujesz je w 15 sekund, jeśli znasz tabelę na pamięć.

Zadanie 5: Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie $2\sin x - 1 = 0$ dla $x \in [0°, 360°)$.

Rozwiązanie:

$2\sin x = 1$ $\sin x = \frac{1}{2}$

Z tabeli: $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

Ale sinus jest dodatni też w II ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to $x = 180° - 30° = 150°$.

Odpowiedź: $x = 30°$ lub $x = 150°$.

Rozszerzenie: wartości dla kątów spoza tabeli

Na maturze mogą pojawić się kąty takie jak 120°, 135°, 150° itp. Korzystasz wtedy ze wzorów redukcyjnych:

• •$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$
• •$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$
• •$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha$
• •$\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha$

Na przykład: $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Więcej o wzorach redukcyjnych znajdziesz w naszym [przewodniku po trygonometrii maturalnej.

Typowe błędy

Błąd 1: Mylenie sinusa z cosinusem. Zapamiętaj: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, ale $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Nie odwrotnie! Sinus 30° jest mniejszy, bo kąt jest mały.

Błąd 2: Zapominanie o nieusuwaniu $\sqrt{2}$ z mianownika. Poprawna wartość to $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, nie $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Na maturze obie formy są akceptowane, ale pierwsza jest standardowa.

Błąd 3: Tangens 90° istnieje. Nie, $\operatorname{tg} 90°$ jest nieokreślony (dzielenie przez zero). CKE czasem podaje go w odpowiedziach jako pułapkę.

Błąd 4: Zapominanie o znakach w II, III i IV ćwiartce. Sinuskosinusowy schemat ASTC (All-Sin-Tan-Cos) mówi, które funkcje są dodatnie w której ćwiartce.

Jedynka trygonometryczna - bonus

Najważniejsza tożsamość, która łączy sinus i cosinus:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Sprawdź dla dowolnego kąta z tabeli, np. $\alpha = 30°$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \checkmark$

Ten wzór pozwala obliczyć cosinus, gdy znasz sinus (i odwrotnie). Przydaje się w zadaniach, gdzie podany jest tylko jeden stosunek trygonometryczny. Więcej o tożsamościach znajdziesz w poradniku o sinusie, cosinusie i tangensie.

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz zadania z trygonometrii w naszej bazie zadań maturalnych - mamy zadania z każdego rocznika CKE. Sprawdź też twierdzenie sinusów i cosinusów, bo te wzory często łączą się z wartościami z tabeli.

Następny krok Losuj kolejne zadanie