Wartości funkcji trygonometrycznych: skąd się biorą, jak je zapamiętać i zadania

Wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów 30°, 45° i 60° wracają na maturze w trygonometrii, w planimetrii, w stereometrii i w geometrii analitycznej. Ten poradnik pokazuje, skąd te liczby się biorą, jak odtworzyć je w kilka sekund bez wkuwania i jak używać ich w zadaniach.

Gotową tabelę sin, cos, tg i ctg dla kątów 0°, 30°, 45°, 60° i 90° (także w radianach i dla kątów do 360°) znajdziesz na stronie Tabela trygonometryczna. Tutaj zajmujemy się tym, czego tabela nie mówi: skąd pochodzą te wartości i co z nimi zrobić w zadaniu.

Skąd się biorą te wartości?

Kąt 45° - trójkąt równoramienno-prostokątny

Weź kwadrat o boku 1 i podziel go przekątną. Dostajesz trójkąt 45-45-90 z bokami $1, 1, \sqrt{2}$.

Z definicji w trójkącie prostokątnym:

$\sin 45° = \frac{\text{naprzeciwko}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\cos 45° = \frac{\text{przy kącie}}{\text{przeciwprostokątna}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\operatorname{tg} 45° = \frac{1}{1} = 1$

Kąty 30° i 60° - trójkąt równoboczny

Weź trójkąt równoboczny o boku 2 i podziel go wysokością na pół. Dostajesz trójkąt 30-60-90 z bokami $1, \sqrt{3}, 2$.

Dla kąta 30°:

$\sin 30° = \frac{1}{2}, \quad \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \operatorname{tg} 30° = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Dla kąta 60°:

$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \cos 60° = \frac{1}{2}, \quad \operatorname{tg} 60° = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$

Trik na zapamiętywanie - metoda "korzeni"

Wartości sinusa dla kątów 0°, 30°, 45°, 60°, 90° to kolejno:

$\frac{\sqrt{0}}{2}, \quad \frac{\sqrt{1}}{2}, \quad \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \frac{\sqrt{4}}{2}$

Czyli pod pierwiastkiem masz 0, 1, 2, 3, 4 - a w mianowniku zawsze 2.

Dla cosinusa to samo, ale od tyłu: $\frac{\sqrt{4}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{0}}{2}$.

Odwrócona kolejność nie jest przypadkiem: $\cos\alpha = \sin(90° - \alpha)$, więc cosinus 30° to sinus 60° i odwrotnie. Z tym trikiem odtworzysz wartości sinusa i cosinusa w kilka sekund, bez zaglądania do tabeli.

Kąty w radianach

Na maturze rozszerzonej te same kąty pojawiają się w radianach. Wystarczy pamiętać, że $\pi$ radianów to $180°$:

Przykład: $\sin\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{6} = \sin 60° + \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Wartości trygonometryczne a karta wzorów CKE

Tabela wartości funkcji trygonometrycznych jest na karcie wzorów CKE. Znając te wartości na pamięć, nie tracisz czasu na szukanie i unikasz pomyłek przy przepisywaniu. Na maturze każda minuta się liczy.

Zadania z wartościami funkcji trygonometrycznych krok po kroku

Zadanie 1: Obliczanie wyrażeń trygonometrycznych

Oblicz wartość wyrażenia $\sin^2 60° + \cos^2 30° - \operatorname{tg} 45°$.

Rozwiązanie:

Podstawiamy wartości z tabeli:

$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 1 = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} - 1 = \frac{6}{4} - 1 = \frac{1}{2}$

Odpowiedź: $\frac{1}{2}$.

Zadanie 2: Bok trójkąta prostokątnego

W trójkącie prostokątnym jeden z kątów ostrych ma miarę 30°, a przeciwprostokątna ma długość 10 cm. Oblicz długości przyprostokątnych.

Rozwiązanie:

Kąty trójkąta: 90°, 30°, 60°.

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 30°:

$a = 10 \cdot \sin 30° = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$

Przyprostokątna naprzeciwko kąta 60°:

$b = 10 \cdot \sin 60° = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ cm}$

Sprawdzenie (twierdzenie Pitagorasa): $5^2 + (5\sqrt{3})^2 = 25 + 75 = 100 = 10^2$. Zgadza się.

Zadanie 3: Pole trójkąta z kątem

Oblicz pole trójkąta, którego dwa boki mają długości 6 cm i 8 cm, a kąt między nimi wynosi 60°.

Rozwiązanie:

Korzystamy ze wzoru $P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$:

$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$

Odpowiedź: $P = 12\sqrt{3} \approx 20{,}78$ cm².

Zadanie 4: Trygonometria w zadaniu zamkniętym

Jeśli $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\alpha \in (0°, 90°)$, to $\operatorname{tg}\alpha$ jest równy:

A) $\frac{1}{2}$    B) $\sqrt{3}$    C) $\frac{\sqrt{3}}{3}$    D) $2$

Rozwiązanie:

Z tabeli: $\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$, więc $\alpha = 60°$.

Odczytujemy: $\operatorname{tg} 60° = \sqrt{3}$.

Odpowiedź: B)

To typowe zadanie zamknięte - rozwiązujesz je w 15 sekund, jeśli znasz tabelę na pamięć.

Zadanie 5: Równanie trygonometryczne

Rozwiąż równanie $2\sin x - 1 = 0$ dla $x \in [0°, 360°)$.

Rozwiązanie:

$2\sin x = 1$ $\sin x = \frac{1}{2}$

Z tabeli: $\sin 30° = \frac{1}{2}$.

Ale sinus jest dodatni też w II ćwiartce, więc drugie rozwiązanie to $x = 180° - 30° = 150°$.

Odpowiedź: $x = 30°$ lub $x = 150°$.

Rozszerzenie: wartości dla kątów spoza tabeli

Na maturze mogą pojawić się kąty takie jak 120°, 135°, 150° itp. Korzystasz wtedy ze wzorów redukcyjnych:

• •$\sin(180° - \alpha) = \sin\alpha$
• •$\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$
• •$\sin(180° + \alpha) = -\sin\alpha$
• •$\cos(180° + \alpha) = -\cos\alpha$

Na przykład: $\sin 120° = \sin(180° - 60°) = \sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Cosinus kąta rozwartego jest ujemny: $\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Ten sam znak trzeba dobrać, gdy kąt jest dany pośrednio. Jeśli $\alpha$ leży w II ćwiartce i $\sin\alpha = \frac{4}{5}$, to z jedynki $\cos^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$, a ponieważ cosinus w II ćwiartce jest ujemny, $\cos\alpha = -\frac{3}{5}$ i $\operatorname{tg}\alpha = -\frac{4}{3}$.

Więcej o wzorach redukcyjnych znajdziesz w naszym przewodniku po trygonometrii maturalnej.

Typowe błędy

Błąd 1: Mylenie sinusa z cosinusem. Zapamiętaj: $\sin 30° = \frac{1}{2}$, ale $\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Nie odwrotnie! Sinus 30° jest mniejszy, bo kąt jest mały.

Błąd 2: Zapominanie o nieusuwaniu $\sqrt{2}$ z mianownika. Poprawna wartość to $\sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$, nie $\frac{1}{\sqrt{2}}$. Na maturze obie formy są akceptowane, ale pierwsza jest standardowa.

Błąd 3: Tangens 90° istnieje. Nie, $\operatorname{tg} 90°$ jest nieokreślony (dzielenie przez zero).

Błąd 4: Zapominanie o znakach w II, III i IV ćwiartce. Schemat ASTC (All-Sin-Tan-Cos) mówi, które funkcje są dodatnie w której ćwiartce.

Błąd 5: Zamiana na ułamek dziesiętny. Zostaw $\frac{\sqrt{3}}{2}$ w tej postaci, zamiast pisać $0{,}866$. W odpowiedzi liczy się dokładna wartość z pierwiastkiem, a przybliżenie w środku rachunku psuje wynik końcowy.

Jedynka trygonometryczna - bonus

Najważniejsza tożsamość, która łączy sinus i cosinus:

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$

Sprawdź dla dowolnego kąta z tabeli, np. $\alpha = 30°$:

$\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 1 \checkmark$

Ten wzór pozwala obliczyć cosinus, gdy znasz sinus (i odwrotnie). Przydaje się w zadaniach, gdzie podany jest tylko jeden stosunek trygonometryczny. Więcej o tożsamościach znajdziesz w poradniku o sinusie, cosinusie i tangensie.

Przykład: kąt $\alpha$ jest ostry i $\cos\alpha = \frac{5}{13}$. Wtedy $\sin^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$, więc $\sin\alpha = \frac{12}{13}$ (znak dodatni, bo kąt jest ostry), a $\operatorname{tg}\alpha = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}$. Liczby 5, 12, 13 to trójka pitagorejska, tak jak 3, 4, 5 i 8, 15, 17, i często wracają w zadaniach.

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz zadania z trygonometrii w naszej bazie zadań maturalnych - mamy zadania z każdego rocznika CKE. Sprawdź też twierdzenie sinusów i cosinusów, bo te wzory często łączą się z wartościami z tabeli.

Następny krok Losuj kolejne zadanie