Czworokąt wpisany w okrąg - twierdzenie o kątach, własności, zadania matura

Czworokąt wpisany w okrąg to jeden z tych tematów, o które CKE pyta regularnie i niespodziewanie. Zadanie wygląda na prostą geometrię, ale jeśli nie znasz głównego twierdzenia, utkniesz na minutę pierwszą. Dobra wiadomość: cała teoria mieści się w trzech zdaniach, a reszta to ćwiczenie. Tu masz wszystko, czego potrzebujesz, plus 5 zadań krok po kroku.

Jeśli dopiero zaczynasz powtórkę z geometrii, zerknij najpierw na Kąty w okręgu - wpisane i środkowe oraz Planimetria na maturze. Pełna lista zadań ćwiczeniowych z planimetrii czeka pod /topics/planimetria.

Co to znaczy "czworokąt wpisany w okrąg"

Czworokąt jest wpisany w okrąg, jeśli wszystkie jego cztery wierzchołki leżą na tym okręgu. Mówimy też wtedy, że na czworokącie można opisać okrąg.

Nie każdy czworokąt da się wpisać w okrąg. Trójkąt zawsze tak (każde trzy punkty niewspółliniowe wyznaczają dokładnie jeden okrąg), ale czworokąt jest "punktem za dużo". Czwarty wierzchołek może wpaść do środka okręgu, na zewnątrz, albo idealnie na okrąg - i tylko w tym ostatnim przypadku mówimy o czworokącie wpisanym.

Warunek, kiedy się da, podaje główne twierdzenie tej notatki.

Twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg

Twierdzenie (warunek wpisywalności): W czworokąt wpisany w okrąg sumy par kątów przeciwległych są równe $180^\circ$.

Zapis matematyczny: jeśli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg, to:

$$\angle A + \angle C = 180^\circ$$
$$\angle B + \angle D = 180^\circ$$

Twierdzenie działa w obie strony. Jeśli w jakimś czworokącie sumy par kątów przeciwległych są równe $180^\circ$, to ten czworokąt można wpisać w okrąg.

Skąd to się bierze? Z twierdzenia o kącie wpisanym opartym na łuku. Kąt $A$ opiera się na łuku $BCD$, kąt $C$ na łuku $BAD$. Te dwa łuki razem dają cały okrąg, czyli $360^\circ$. Każdy z kątów wpisanych to połowa odpowiadającego łuku, więc:

$$\angle A + \angle C = \frac{1}{2}(360^\circ) = 180^\circ$$

Dokładne wyprowadzenie znajdziesz we wpisie Jak obliczyć kąt wpisany i środkowy.

Pułapka: Sumują się kąty przeciwległe, nie sąsiednie. Przeciwległe to $A$ i $C$ oraz $B$ i $D$. Jeśli pomylisz pary, dostaniesz bzdurę.

Konsekwencje twierdzenia

Twierdzenie ma kilka praktycznych skutków, które warto mieć w głowie.

Konsekwencja 1: kąty zewnętrzne i kąty wewnętrzne przeciwległe. Jeśli przedłużysz bok czworokąta i utworzysz kąt zewnętrzny przy wierzchołku $A$, to ten kąt zewnętrzny jest równy kątowi wewnętrznemu przy wierzchołku przeciwległym $C$. Bo kąt zewnętrzny w $A$ to $180^\circ - \angle A$, a kąt $C = 180^\circ - \angle A$, więc są równe.

Konsekwencja 2: kwadrat i prostokąt zawsze są wpisywalne. Wszystkie ich kąty są proste, więc sumy par dają $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Okrąg opisany ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej.

Konsekwencja 3: trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny. W trapezie kąty przy podstawie sumują się do $180^\circ$ (kąty leżące przy tej samej podstawie po przeciwnej stronie). Jeśli trapez jest równoramienny, kąty przy każdej z podstaw są równe, więc warunek wpisywalności zachodzi automatycznie.

Konsekwencja 4: deltoid i romb (niekwadrat) NIE są wpisywalne. W rombie kąty przeciwległe są równe, więc warunek $\angle A + \angle C = 180^\circ$ implikuje $\angle A = \angle C = 90^\circ$, czyli kwadrat. Każdy inny romb nie nadaje się do wpisania w okrąg.

Twierdzenie Ptolemeusza (na maturze rozszerzonej)

Dla czworokąta $ABCD$ wpisanego w okrąg, z bokami $a = AB$, $b = BC$, $c = CD$, $d = DA$ i przekątnymi $e = AC$, $f = BD$:

$$e \cdot f = a \cdot c + b \cdot d$$

Czyli iloczyn przekątnych jest równy sumie iloczynów boków przeciwległych. To twierdzenie pojawia się głównie na rozszerzonej, ale czasem mignie w trudnych zadaniach na podstawowej.

Czworokąt opisany na okręgu - nie myl pojęć

Druga strona medalu: czworokąt opisany na okręgu to taki, w który wpisano okrąg, czyli okrąg dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Warunek jest inny:

$$a + c = b + d$$

Sumy par boków przeciwległych muszą być równe. W zadaniach maturalnych łatwo to pomylić z wpisywalnością. Pamiętaj:

Zadanie 1: znajdź brakujący kąt

Treść: W czworokącie $ABCD$ wpisanym w okrąg $\angle A = 75^\circ$ i $\angle B = 110^\circ$. Wyznacz kąty $C$ i $D$.

Rozwiązanie: Z twierdzenia o czworokącie wpisanym:

$$\angle C = 180^\circ - \angle A = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$$
$$\angle D = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$$

Sprawdzenie: suma wszystkich kątów czworokąta powinna dawać $360^\circ$. Liczymy: $75 + 110 + 105 + 70 = 360$. Pasuje.

Zadanie 2: warunek wpisywalności

Treść: Sprawdź, czy czworokąt o kątach $80^\circ, 95^\circ, 100^\circ, 85^\circ$ (w kolejności A, B, C, D) można wpisać w okrąg.

Rozwiązanie: Sprawdzamy obie pary kątów przeciwległych.

$$\angle A + \angle C = 80^\circ + 100^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$
$$\angle B + \angle D = 95^\circ + 85^\circ = 180^\circ \quad \checkmark$$

Odpowiedź: Tak, czworokąt można wpisać w okrąg.

Uwaga: wystarczy sprawdzić jedną parę. Jeśli $\angle A + \angle C = 180^\circ$ i suma wszystkich kątów to $360^\circ$, to druga para automatycznie też daje $180^\circ$. Ale w pracy dobrze sprawdzić obie, żeby nie zostawić wątpliwości.

Zadanie 3: trapez równoramienny

Treść: W trapez równoramienny $ABCD$, w którym $AB \parallel CD$, $AB = 12$, $CD = 4$, a ramiona $BC = AD = 5$, wpisano okrąg opisany. Wyznacz promień okręgu.

Rozwiązanie: Trapez równoramienny zawsze jest wpisywalny w okrąg (zob. konsekwencja 3).

Wprowadzamy układ współrzędnych: niech $A = (0, 0)$, $B = (12, 0)$. Wysokość trapezu $h$ liczymy z trójkąta prostokątnego: rzut ramienia na podstawę to $\frac{12 - 4}{2} = 4$, więc:

$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = 3$$

Współrzędne pozostałych wierzchołków: $D = (4, 3)$, $C = (8, 3)$.

Środek okręgu opisanego leży na osi symetrii trapezu, czyli na prostej $x = 6$. Oznaczmy środek jako $O = (6, y_0)$. Z warunku $|OA| = |OD|$:

$$\sqrt{36 + y_0^2} = \sqrt{4 + (y_0 - 3)^2}$$

Po podniesieniu do kwadratu:

$$36 + y_0^2 = 4 + y_0^2 - 6 y_0 + 9$$
$$36 = 13 - 6 y_0$$
$$6 y_0 = -23$$
$$y_0 = -\frac{23}{6}$$

Promień:

$$R = \sqrt{36 + \left(\frac{23}{6}\right)^2} = \sqrt{36 + \frac{529}{36}} = \sqrt{\frac{1296 + 529}{36}} = \sqrt{\frac{1825}{36}} = \frac{\sqrt{1825}}{6} = \frac{5\sqrt{73}}{6}$$

Wynik: $R = \frac{5\sqrt{73}}{6}$.

To jedno z trudniejszych zadań, ale ilustruje technikę: w trapezie równoramiennym środek okręgu opisanego ZAWSZE leży na osi symetrii.

Zadanie 4: kąt z parametrem

Treść: W czworokącie wpisanym w okrąg $\angle A = 2x + 10^\circ$, $\angle C = 4x - 30^\circ$. Wyznacz $x$ i oblicz $\angle A$.

Rozwiązanie: Z twierdzenia o czworokącie wpisanym $\angle A + \angle C = 180^\circ$:

$$(2x + 10) + (4x - 30) = 180$$
$$6x - 20 = 180$$
$$6x = 200$$
$$x = \frac{100}{3} \approx 33{,}33^\circ$$

Stąd:

$$\angle A = 2 \cdot \frac{100}{3} + 10 = \frac{200}{3} + 10 = \frac{200 + 30}{3} = \frac{230}{3} \approx 76{,}67^\circ$$

W praktyce takie zadania zaprojektowane są na ładne liczby; jeśli wychodzi ułamek, sprawdź czy nie pomyliłeś znaków.

Zadanie 5: wykorzystaj twierdzenie do dowodu

Treść: Udowodnij, że jeśli czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg i $\angle BAD = \angle BCD$, to $\angle BAD = 90^\circ$.

Rozwiązanie: Z twierdzenia o czworokącie wpisanym $\angle BAD + \angle BCD = 180^\circ$. Łącząc z założeniem $\angle BAD = \angle BCD$:

$$2 \cdot \angle BAD = 180^\circ$$
$$\angle BAD = 90^\circ$$

Wniosek: Taki czworokąt jest "wpisany w półokrąg" w sensie, że odcinek $BD$ jest średnicą. Bo kąt wpisany oparty na średnicy to $90^\circ$.

To prosty dowód, ale CKE lubi takie zadania w arkuszach: testuje, czy umiesz powiązać twierdzenie z konkretnym wnioskiem.

Typowe pułapki na maturze

Pułapka 1: kąty sąsiednie, nie przeciwległe. Najczęstszy błąd. Pisz w pamięci: A z C, B z D.

Pułapka 2: zapomnienie o znaku w równaniach z parametrem. Sprawdzaj zakres: kąt w czworokącie musi być z przedziału $(0^\circ, 360^\circ)$. Jeśli wychodzi $\angle A < 0$ lub $\angle A > 360^\circ$, pomyliłeś gdzieś.

Pułapka 3: mylenie z czworokątem opisanym. Wpisany w okrąg ma warunek na kąty, opisany na boki. Jeśli zadanie mówi "wpisano w czworokąt okrąg", to chodzi o okrąg WPISANY (czyli czworokąt opisany na okręgu) i warunek dotyczy boków.

Pułapka 4: założenie, że czworokąt wypukły. Twierdzenie obowiązuje dla czworokątów wypukłych. Czworokąty wklęsłe (z kątem większym od $180^\circ$) wymagają osobnej analizy, ale w arkuszach maturalnych podstawowych takie nie występują.

Pułapka 5: kwadrat to też czworokąt wpisany. Czasem zadanie pyta o "czworokąt wpisany w okrąg" i uczeń od razu wyklucza kwadrat. Niepotrzebnie: kwadrat to konkretny przypadek czworokąta wpisanego.

Zadanie 6: kąt w czworokącie z okręgiem opisanym

Treść: Czworokąt $ABCD$ jest wpisany w okrąg o środku $O$. Wiadomo, że $\angle BOD = 140^\circ$ (kąt środkowy oparty na łuku $BD$ zawierającym wierzchołek $C$). Wyznacz $\angle BAD$.

Rozwiązanie: Kąt środkowy $\angle BOD = 140^\circ$ jest oparty na łuku $BD$ zawierającym $C$. Kąt $\angle BAD$ to kąt wpisany oparty na tym samym łuku, czyli z twierdzenia o kącie wpisanym:

$$\angle BAD = \frac{1}{2} \cdot 140^\circ = 70^\circ$$

Sprawdzenie z twierdzeniem o czworokącie wpisanym: $\angle BCD$ opiera się na łuku $BD$ nie zawierającym $C$, który ma miarę $360^\circ - 140^\circ = 220^\circ$. Stąd $\angle BCD = 110^\circ$. I rzeczywiście $\angle BAD + \angle BCD = 70^\circ + 110^\circ = 180^\circ$. Pasuje.

To dobry przykład na to, jak twierdzenie o kącie wpisanym i twierdzenie o czworokącie wpisanym dają się zazębiać.

Zadanie 7: okrąg opisany na czworokącie - znajdź promień

Treść: W kwadrat o boku $a = 6$ wpisano okrąg, na kwadracie opisano okrąg. Wyznacz oba promienie.

Rozwiązanie:

Okrąg wpisany w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków od wewnątrz. Jego promień to połowa boku:

$$r = \frac{a}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Okrąg opisany na kwadracie przechodzi przez wszystkie wierzchołki. Jego promień to połowa przekątnej. Przekątna kwadratu o boku $a$ ma długość $a\sqrt{2}$, więc:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$$

Wynik: $r = 3$, $R = 3\sqrt{2}$.

Stosunek promieni: $\frac{R}{r} = \sqrt{2}$. To wzór do zapamiętania - zawsze taki sam dla kwadratu, niezależnie od długości boku.

Pole czworokąta wpisanego w okrąg - wzór Brahmagupty

Dla czworokąta wpisanego w okrąg, którego boki to $a, b, c, d$, pole liczy się wzorem Brahmagupty:

$$P = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}$$

gdzie $s = \frac{a + b + c + d}{2}$ to półobwód. To uogólnienie wzoru Herona na trójkąt.

Wzór nie pojawia się w karcie wzorów CKE, ale na rozszerzonej maturze warto go znać. W podstawowej do pola wpisanego czworokąta dochodzi się zazwyczaj przez podział na trójkąty (przekątną) i wzór $P = \frac{1}{2}ab \sin C$.

Przykład: Czworokąt wpisany w okrąg ma boki $3, 4, 5, 6$. Półobwód $s = 9$. Pole:

$$P = \sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} = \sqrt{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}$$

Kiedy warto rysować pomocniczo

W zadaniach z czworokątami wpisanymi w okrąg niemal zawsze pomaga rysunek z zaznaczonymi łukami. Bo zadanie często sprowadza się do twierdzenia o kącie wpisanym, a kąt wpisany "widzi" konkretny łuk. Bez rysunku łatwo pomylić, na którym łuku oparty jest dany kąt.

Wskazówki rysunkowe:

Karta wzorów - co znajdziesz

W karcie wzorów CKE 2026 dla planimetrii masz:

Nie ma:

Lista wszystkich brakujących wzorów: Karta wzorów CKE 2026 - co jest, czego brakuje.

Typowe konfiguracje na maturze - jak rozpoznać

CKE lubi kilka standardowych sytuacji, w których pojawia się czworokąt wpisany w okrąg. Warto je znać na pamięć, bo szybko rozpoznasz "tu trzeba użyć twierdzenia".

Konfiguracja A: czworokąt z dwoma kątami prostymi. Jeśli dwa kąty czworokąta wynoszą $90^\circ$, a one są przeciwległe, to czworokąt jest wpisywalny (suma $180^\circ$). Przy okazji - obie przekątne są średnicami okręgu opisanego. Częste w zadaniach z trójkątem prostokątnym i hipotenuzą jako średnicą.

Konfiguracja B: trapez równoramienny. Automatycznie wpisany w okrąg. Wystarczy znaleźć środek symetrii i z trójkąta prostokątnego wyznaczyć promień.

Konfiguracja C: kwadrat lub prostokąt. Wpisany w okrąg z promieniem równym połowie przekątnej. Środek okręgu = przecięcie przekątnych.

Konfiguracja D: czworokąt z dwiema parami równych kątów przeciwległych. Jeśli $\angle A = \angle C$ i $\angle B = \angle D$, to znaczy że $\angle A = \angle C = 90^\circ$ i $\angle B = \angle D = 90^\circ$, czyli prostokąt.

Konfiguracja E: czworokąt z parą boków równoległych i parą równych kątów. Trapez plus dodatkowa symetria często daje trapez równoramienny, który jest wpisywalny.

Jeśli zadanie nie wskazuje wprost na czworokąt wpisany, ale rysunek pokazuje cztery wierzchołki na okręgu - od razu wyciągaj twierdzenie.

Łuki i kąty - jak je powiązać

Twierdzenie o czworokącie wpisanym ma głęboki związek z łukami. Każdy bok czworokąta wpisanego dzieli okrąg na dwa łuki. Cztery wierzchołki wyznaczają cztery łuki, sumujące się do $360^\circ$.

Jeśli oznaczymy łuki $\overset{\frown}{AB}, \overset{\frown}{BC}, \overset{\frown}{CD}, \overset{\frown}{DA}$ jako $\alpha, \beta, \gamma, \delta$, to:

$$\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$$

Kąt wpisany przy wierzchołku $A$ opiera się na łuku $\overset{\frown}{BCD}$, czyli na sumie $\beta + \gamma$. Stąd $\angle A = \frac{\beta + \gamma}{2}$.

Analogicznie $\angle C = \frac{\delta + \alpha}{2}$. Sumując:

$$\angle A + \angle C = \frac{\alpha + \beta + \gamma + \delta}{2} = \frac{360^\circ}{2} = 180^\circ$$

To formalny dowód twierdzenia. Warto go znać - czasem trafia jako zadanie "udowodnij".

Porównanie z trójkątem - dlaczego trójkąt zawsze, a czworokąt nie

W trójkącie trzy wierzchołki zawsze wyznaczają jednoznacznie okrąg opisany (środek = przecięcie symetralnych boków). W czworokącie cztery wierzchołki to o jeden za dużo. Pierwsze trzy wyznaczają okrąg, ale czwarty musi "akurat" trafić na ten okrąg, żeby czworokąt był wpisywalny.

Stąd potrzeba warunku: $\angle A + \angle C = 180^\circ$. To algebraiczny zapis "czwarty wierzchołek leży tam, gdzie trzeba".

Symetralne czterech boków czworokąta wpisanego przecinają się w jednym punkcie - środku okręgu opisanego. To kolejny sposób na konstrukcję środka, gdy zadanie podaje współrzędne wierzchołków.

Powiązane wpisy

Drugi temat z dzisiejszego seedu: Ciąg geometryczny - wzór, suma, iloraz - kompletny przewodnik po ciągu geometrycznym. Z geometrii sprawdź też Twierdzenie Pitagorasa na maturze i Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - bardzo blisko tematycznie. Pełna geometria pod /topics/planimetria.

Jeśli interesuje cię cały arkusz CKE z planimetrią, zobacz Matura maj 2024 - rozwiązania. Bardziej zaawansowane techniki znajdziesz w Geometria analityczna - proste, okręgi, odległości.

Checklista - co musisz umieć

Czworokąty wpisane to temat krótki, ale punktotwórczy. Jedno twierdzenie, trzy konsekwencje, godzina ćwiczeń i temat z głowy. W arkuszu maturalnym taki kąt to często szybkie 1-2 punkty.