Usuwanie niewymierności z mianownika - jak upraszczać wyrażenia z pierwiastkami krok po kroku

Usuwanie niewymierności z mianownika to umiejętność, która pojawia się na maturze regularnie. Czasem jako osobne zadanie, a częściej jako krok w większym rozwiązaniu - przy obliczaniu odległości punktu od prostej, wartości trygonometrycznych czy upraszczaniu wyników w geometrii analitycznej. Opanuj trzy metody i zapomnij o problemie.

Po co usuwać niewymierność?

Zapis $\frac{1}{\sqrt{2}}$ i $\frac{\sqrt{2}}{2}$ to ta sama liczba, ale drugi jest standardowy. CKE oczekuje wyniku bez pierwiastków w mianowniku. Za zapis z niewymiernym mianownikiem nie stracisz punktu w zadaniu otwartym, ale w zamkniętym możesz nie znaleźć swojej odpowiedzi wśród opcji.

Metoda 1: Jeden pierwiastek w mianowniku

Gdy w mianowniku stoi sam pierwiastek, po prostu mnożysz licznik i mianownik przez ten pierwiastek.

$$\frac{a}{\sqrt{b}} = \frac{a}{\sqrt{b}} \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$

Przykład 1

Uprość $\frac{6}{\sqrt{3}}$.

Rozwiązanie:

$$\frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

Odpowiedź: $2\sqrt{3}$.

Przykład 2

Uprość $\frac{10}{3\sqrt{5}}$.

Rozwiązanie:

$$\frac{10}{3\sqrt{5}} = \frac{10}{3\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{3 \cdot 5} = \frac{10\sqrt{5}}{15} = \frac{2\sqrt{5}}{3}$$

Odpowiedź: $\frac{2\sqrt{5}}{3}$.

Metoda 2: Suma z pierwiastkiem - mnożenie przez sprzężenie

Gdy mianownik ma postać $a + \sqrt{b}$, mnożymy przez sprzężenie $a - \sqrt{b}$. Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$$(a + \sqrt{b})(a - \sqrt{b}) = a^2 - b$$

Pierwiastek znika!

Przykład 3

Uprość $\frac{3}{2 + \sqrt{5}}$.

Rozwiązanie:

Sprzężenie mianownika to $2 - \sqrt{5}$. Mnożymy:

$$\frac{3}{2 + \sqrt{5}} \cdot \frac{2 - \sqrt{5}}{2 - \sqrt{5}} = \frac{3(2 - \sqrt{5})}{4 - 5} = \frac{6 - 3\sqrt{5}}{-1} = -6 + 3\sqrt{5} = 3\sqrt{5} - 6$$

Odpowiedź: $3\sqrt{5} - 6$.

Przykład 4

Uprość $\frac{1}{\sqrt{3} - 1}$.

Rozwiązanie:

Sprzężenie to $\sqrt{3} + 1$:

$$\frac{1}{\sqrt{3} - 1} \cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$$

Odpowiedź: $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$.

Metoda 3: Dwa pierwiastki w mianowniku

Gdy mianownik to $\sqrt{a} + \sqrt{b}$ lub $\sqrt{a} - \sqrt{b}$, też mnożymy przez sprzężenie:

$$(\sqrt{a} + \sqrt{b})(\sqrt{a} - \sqrt{b}) = a - b$$

Przykład 5

Uprość $\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}}$.

Rozwiązanie:

$$\frac{4}{\sqrt{7} - \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{7} + \sqrt{3}}{\sqrt{7} + \sqrt{3}} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{7 - 3} = \frac{4(\sqrt{7} + \sqrt{3})}{4} = \sqrt{7} + \sqrt{3}$$

Odpowiedź: $\sqrt{7} + \sqrt{3}$.

Przykład 6: Zadanie maturalne

Oblicz wartość wyrażenia $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}}$.

Rozwiązanie:

Mnożymy przez sprzężenie mianownika:

$$\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2}{6 - 2}$$

Rozwijamy kwadrat w liczniku (wzór $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$):

$$(\sqrt{6} + \sqrt{2})^2 = 6 + 2\sqrt{12} + 2 = 8 + 2\sqrt{12} = 8 + 4\sqrt{3}$$ $$\frac{8 + 4\sqrt{3}}{4} = 2 + \sqrt{3}$$

Odpowiedź: $2 + \sqrt{3}$.

Algorytm na maturę - szybki schemat

1. Czy mianownik to sam $\sqrt{x}$? Mnóż przez $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.
2. Czy mianownik to $a \pm \sqrt{b}$ lub $\sqrt{a} \pm \sqrt{b}$? Mnóż przez sprzężenie.
3. Uprość - skróć ułamek, wyciągnij czynniki spod pierwiastka.

Typowe błędy

Błąd 1: Złe sprzężenie. Sprzężenie $a + \sqrt{b}$ to $a - \sqrt{b}$ (zmieniasz TYLKO znak przy pierwiastku). Sprzężenie $\sqrt{3} - 2$ to $\sqrt{3} + 2$, nie $-\sqrt{3} + 2$.

Błąd 2: Zapominanie o mnożeniu licznika. Jeśli mnożysz mianownik przez sprzężenie, musisz pomnożyć też licznik! Inaczej zmieniasz wartość ułamka.

Błąd 3: Niepoprawne mnożenie pierwiastków. $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$ (nie $\sqrt{9}$!). No dobra, $\sqrt{9} = 3$, ale nie komplikuj sobie życia.

Błąd 4: Zostawianie niewykończonego wyniku. Po usunięciu niewymierności uprość ułamek do końca. $\frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$, nie zostawiaj $\frac{6\sqrt{3}}{3}$.

Błąd 5: Wyciąganie czynników spod pierwiastka. $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$. Zawsze sprawdzaj, czy pod pierwiastkiem nie kryje się kwadrat. Więcej o potęgach i pierwiastkach.

Kiedy spotykasz niewymierność na maturze?

Usuwanie niewymierności nie jest tylko "akademickim" tematem. Pojawia się w praktyce w wielu typach zadań:

Co musisz umieć - checklista

Przećwicz na zadaniach z wyrażeń algebraicznych w naszej bazie. Przyda się też powtórka wzorów skróconego mnożenia - bez nich sprzężenie nie zadziała.