Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2011

Matura z matematyki w maju 2011 roku to drugi egzamin w nowej formule, która zadebiutowała rok wcześniej. CKE wyciągnęła wnioski z 2010 roku i arkusz stał się bardziej zbalansowany - dominacja planimetrii ustąpiła miejsca bardziej równomiernemu rozkładowi tematów. Arkusz zawierał 33 zadania warte łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia pozostał na poziomie 30%, czyli 15 punktów. Statystyki pokazały poprawę wyników w stosunku do roku poprzedniego - maturzyści lepiej poradzili sobie z tym arkuszem. Największy nacisk położono na równania i nierówności (11 punktów) oraz stereometrię (7 punktów). To pokazuje trend, który utrzymał się w kolejnych latach - CKE przesunęła ciężar z czystej geometrii płaskiej w stronę bardziej uniwersalnych umiejętności algebraicznych i przestrzennych. Wszystkie 33 zadania z tego arkusza dostępne są w kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

Rozkład jest znacznie bardziej równomierny niż w maturze maj 2010. Równania i nierówności to teraz lider (11 punktów), ale nie dominują tak bezwzględnie jak planimetria rok wcześniej. Stereometria zyskała na znaczeniu (7 punktów!). Planimetria spadła do zaledwie 4 punktów, czyli trzykrotnie mniej niż rok wcześniej. To wyraźny sygnał: CKE chciała uniknąć sytuacji, w której jeden dział decyduje o wyniku egzaminu.

Poziom trudności

Zadania łatwe (1 punkt, około 22-26 punktów do zdobycia): Większość zadań zamkniętych to prosty punkt do zdobycia dla każdego, kto zna podstawy. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia algebraicznego, rozpoznaj własność ciągu arytmetycznego, wskaż równanie prostej prostopadłej, znajdź dziedzinę funkcji.

Zadania średnie (2-3 punkty, około 16-20 punktów): Zadania wymagające połączenia dwóch, trzech kroków rozumowania. Przykłady: rozwiąż równanie kwadratowe z parametrem, oblicz objętość graniastosłupa o nietypowej podstawie, wyznacz punkty przecięcia prostej i okręgu.

Zadania trudne (4 punkty, około 6-8 punktów): Zadania otwarte, wymagające wieloetapowego rozumowania, dowodów, złożonych obliczeń. Tu decyduje się, kto zdaje na 70-90%.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt) ↗

Treść: Wyznacz wartość wyrażenia $(2x - 3y)^2 - (2x + 3y)^2$ dla $x = 5$ i $y = 2$.

Rozwiązanie:

Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

$$a^2 - b^2 = [(2x - 3y) - (2x + 3y)][(2x - 3y) + (2x + 3y)]$$ $$= (-6y)(4x) = -24xy$$

Podstawiamy $x = 5$, $y = 2$:

$$-24 \cdot 5 \cdot 2 = -240$$

Odpowiedź: -240

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 9 - Ciągi (1 pkt) ↗

Treść: Ciąg arytmetyczny $(a_n)$ określony jest wzorem $a_n = 3n - 7$. Który wyraz tego ciągu jest równy 20?

Rozwiązanie:

$$3n - 7 = 20 \quad \Rightarrow \quad 3n = 27 \quad \Rightarrow \quad n = 9$$

Sprawdzenie: $a_9 = 3 \cdot 9 - 7 = 20$. Pamiętaj, żeby sprawdzić, czy $n$ wyszło liczbą naturalną dodatnią!

Odpowiedź: Dziewiąty wyraz

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 15 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\sqrt{2x + 5} = x - 1$.

Rozwiązanie:

Dziedzina: $2x + 5 \geq 0$ i $x - 1 \geq 0$, czyli $x \geq 1$.

Podnosimy obie strony do kwadratu:

$$2x + 5 = x^2 - 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 4 = 0$$ $$\Delta = 16 + 16 = 32 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$$

Sprawdzamy dziedzinę: $x_1 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.83 \geq 1$ - pasuje. $x_2 = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0.83 < 1$ - odrzucamy.

Weryfikacja: $\sqrt{2(2 + 2\sqrt{2}) + 5} = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}$ i $(1 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 4\sqrt{2}$. Zgadza się!

Odpowiedź: $x = 2 + 2\sqrt{2}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 20 - Stereometria (3 pkt) ↗

Treść: Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy długości $a = 4$ cm i wysokość $h = 6$ cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Pole podstawy (trójkąt równoboczny o boku 4):

$$P_{\text{podstawy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2$$

Dwie podstawy: $8\sqrt{3}$ cm².

Pole powierzchni bocznej (trzy prostokąty $4 \times 6$):

$$P_{\text{boczna}} = 3 \cdot 24 = 72 \text{ cm}^2$$

Razem: $P_{\text{całkowita}} = 8\sqrt{3} + 72$ cm²

Odpowiedź: $(8\sqrt{3} + 72)$ cm²

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 25 - Geometria analityczna (3 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że punkty $A = (1, 2)$, $B = (4, 3)$, $C = (5, 6)$, $D = (2, 5)$ są wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiązanie:

Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli przekątne przecinają się w połowie.

Środek $AC$: $S_{AC} = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (3, 4)$

Środek $BD$: $S_{BD} = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (3, 4)$

Środki są identyczne, więc $ABCD$ jest równoległobokiem.

Odpowiedź: Dowód wykonany - punkty są wierzchołkami równoległoboku.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Funkcje (3 pkt) ↗

Treść: Funkcja kwadratowa $f(x) = ax^2 + bx + c$ ma miejsca zerowe $x_1 = -1$ i $x_2 = 3$, a jej wykres przecina oś $y$ w punkcie $(0, -6)$. Wyznacz wzór tej funkcji.

Rozwiązanie:

Postać iloczynowa: $f(x) = a(x + 1)(x - 3)$.

Z warunku $f(0) = -6$:

$$a(1)(-3) = -6 \quad \Rightarrow \quad -3a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$ $$f(x) = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$$

Sprawdzenie: $f(0) = -6$, $f(-1) = 0$, $f(3) = 0$. Wszystko się zgadza.

Odpowiedź: $f(x) = 2x^2 - 4x - 6$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 33 - Prawdopodobieństwo (4 pkt) ↗

Treść: Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) we wszystkich trzech rzutach wypadnie orzeł, b) w dokładnie dwóch rzutach wypadnie orzeł, c) co najmniej raz wypadnie orzeł.

Rozwiązanie:

Przestrzeń wszystkich wyników: $2^3 = 8$.

a) OOO - jeden wynik: $P(A) = \frac{1}{8}$

b) OOR, ORO, ROO - trzy wyniki: $P(B) = \frac{3}{8}$

c) "Co najmniej raz" to dopełnienie "ani razu": $P(C) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$

Odpowiedź: a) $\frac{1}{8}$, b) $\frac{3}{8}$, c) $\frac{7}{8}$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Równania i nierówności to główny temat. 11 punktów z 50 to ponad jedna piąta arkusza. Musisz pewnie operować równaniami kwadratowymi, wymiernymi, z pierwiastkami. Równania i nierówności to fundament matury.

Stereometria wymagająca, ale przewidywalna. 7 punktów ze stereometrii to sporo, ale zadania są wzorcowe. Graniastosłupy, ostrosłupy - zawsze ten sam schemat: znajdź przekrój, zastosuj Pitagorasa, oblicz pole albo objętość. Stereometria to dział, gdzie systematyczne ćwiczenie daje najszybszy efekt.

Geometria analityczna to obliczenia i dowody. Musisz umieć liczyć odległości, środki odcinków, współczynniki kierunkowe, równania prostych. Geometria analityczna to most między algebrą a geometrią.

Ciągi są proste, jeśli znasz wzory. Ciągi to dział, gdzie nauka wzorów daje natychmiastowy efekt na maturze.

Funkcje kwadratowe w różnych postaciach. Musisz swobodnie przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową - to oszczędza czas i błędy.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Porównaj z arkuszem 2010. Zrób oba i zobacz, jak zmieniły się proporcje. W maturze maj 2010 dominowała planimetria, w 2011 równania i stereometria. To pokazuje, że CKE szuka balansu.

Twórz kartę błędów. Wpisuj każdy błąd do tabeli: numer zadania, kategoria, co poszło nie tak. Po miesiącu zobaczysz wzorce.

Ucz się z rozwiązań krok po kroku. Komisja ocenia drogę, nie tylko cel. Trenuj zapis rozwiązań.

Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź maturę maj 2012 lub maturę maj 2013. Im więcej arkuszy przeanalizujesz, tym lepiej poznasz logikę CKE. Wszystkie zadania czekają w bazie arkuszy maturalnych.