Przejdź do treści

Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2011: 33 zadania za 50 punktów, bardziej zbalansowany rozkład tematów z naciskiem na równania i stereometrię oraz rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Opublikowano: · zaktualizowano · 5 min czytania

Spis treści

O arkuszu - Matura maj 2011

Matura z matematyki w maju 2011 roku to drugi rok, w którym matematyka była na maturze obowiązkowa. W porównaniu z arkuszem z 2010 roku jest tu dużo mniej planimetrii (4 punkty zamiast 14), a punkty rozkładają się równiej między działy. Arkusz zawierał 33 zadania warte łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia pozostał na poziomie 30%, czyli 15 punktów. Najwięcej punktów dawały równania i nierówności (11 punktów) oraz stereometria (7 punktów). Wszystkie 33 zadania z tego arkusza dostępne są w kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025.

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunktyProcent arkusza
Równania i nierówności61122.0%
Stereometria4714.0%
Geometria analityczna3612.0%
Ciągi348.0%
Trygonometria348.0%
Planimetria348.0%
Funkcje236.0%
Prawdopodobieństwo236.0%
Inne7816.0%

Rozkład jest znacznie bardziej równomierny niż w maturze maj 2010. Równania i nierówności to teraz lider (11 punktów), ale nie dominują tak bezwzględnie jak planimetria rok wcześniej. Stereometria zyskała na znaczeniu (7 punktów!). Planimetria spadła do zaledwie 4 punktów, czyli ponad trzy razy mniej niż rok wcześniej (14 punktów). To wyraźny sygnał: CKE chciała uniknąć sytuacji, w której jeden dział decyduje o wyniku egzaminu.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2011

Poziom trudności

Zadania zamknięte (1 punkt, 23 zadania, łącznie 23 punkty): Większość zadań zamkniętych to prosty punkt do zdobycia dla każdego, kto zna podstawy. Przykłady: wyłącz wspólny czynnik przed nawias, rozpoznaj własność rosnącego ciągu arytmetycznego, wskaż równanie prostej równoległej przechodzącej przez dany punkt, ustal, dla jakich xx logarytm jest określony.

Zadania otwarte za 2 punkty (7 zadań, łącznie 14 punktów): Zadania wymagające połączenia dwóch, trzech kroków rozumowania. Przykłady: nierówność kwadratowa, uzasadnienie wartości a4+b4a^4+b^4 ze wzorów skróconego mnożenia, odczyt zbioru wartości i monotoniczności z wykresu, ciąg arytmetyczny z dodatkowym warunkiem, dowód, że kąt w czworokącie jest prosty, prawdopodobieństwo przy losowaniu ze zwracaniem.

Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 13 punktów): Zadania wymagające wieloetapowego rozumowania: punkt styczności okręgu i prostej (zadanie 31, 4 pkt), zadanie tekstowe o trasie turysty (zadanie 32, 5 pkt) i pole trójkąta wyznaczonego przez środki krawędzi sześcianu (zadanie 33, 4 pkt).

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 3Wyrażenia algebraiczne1 pkt
Wyrażenie 5a2−10ab+15a5a^2-10ab+15a jest równe iloczynowi
  • A5a2(1−10b+3)5a^2(1-10b+3)
  • B5a(a−2b+3)5a(a-2b+3)
  • C5a(a−10b+15)5a(a-10b+15)
  • D5(a−2b+3)5(a-2b+3)

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Każdy z trzech wyrazów dzieli się przez 5a5a, więc ten czynnik wyłączamy przed nawias:

5a2−10ab+15a=5a⋅a−5a⋅2b+5a⋅3=5a(a−2b+3)5a^2 - 10ab + 15a = 5a\cdot a - 5a\cdot 2b + 5a\cdot 3 = 5a(a - 2b + 3)

Sprawdzenie przez wymnożenie: 5a⋅a=5a25a\cdot a = 5a^2, 5a⋅(−2b)=−10ab5a\cdot(-2b) = -10ab, 5a⋅3=15a5a\cdot 3 = 15a. Odpowiedź D gubi aa w czynniku, a w C nawias nie został podzielony przez 55.

Odpowiedź: B

5a(a−2b+3)5a(a-2b+3)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Wyrażenia algebraiczne
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2011

Zadanie 9 - Funkcje (1 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 9Funkcje1 pktOtwarte
Dane są funkcje liniowe f(x)=x−2f(x)=x-2 oraz g(x)=x+4g(x)=x+4 określone dla wszystkich liczb rzeczywistych xx. Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji h(x)=f(x)⋅g(x)h(x)=f(x)\cdot g(x)
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Iloczyn dwóch funkcji liniowych daje funkcję kwadratową od razu w postaci iloczynowej:

h(x)=(x−2)(x+4)=x2+2x−8h(x) = (x-2)(x+4) = x^2 + 2x - 8

Współczynnik przy x2x^2 jest równy 11, więc ramiona paraboli są skierowane w górę. Miejsca zerowe odczytujemy z nawiasów: x=2x = 2 oraz x=−4x = -4. Parabolę o ramionach w górę, przecinającą oś OxOx w punktach −4-4 i 22, pokazuje wykres A.

Odpowiedź: A

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Funkcje

Zadanie 15 - Stereometria (1 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 15Stereometria1 pkt
W prostopadłościanie ABCDEFGHABCDEFGH mamy: ∣AB∣=5,∣AD∣=4,∣AE∣=3|AB| = 5, |AD| = 4, |AE| = 3. Który z odcinków AB,BG,GE,EBAB, BG, GE, EB jest najdłuższy?
  • AABAB
  • BBGBG
  • CGEGE
  • DEBEB

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Odcinki BGBG, GEGE i EBEB są przekątnymi ścian prostopadłościanu, więc liczymy je z twierdzenia Pitagorasa:

∣BG∣=32+42=25=5|BG| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 ∣GE∣=52+42=41|GE| = \sqrt{5^2 + 4^2} = \sqrt{41} ∣EB∣=52+32=34|EB| = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}

Do tego ∣AB∣=5=25|AB| = 5 = \sqrt{25}. Najdłuższa jest przekątna ściany zbudowanej na dwóch najdłuższych krawędziach, czyli GE=41GE = \sqrt{41}.

Odpowiedź: C

GEGE

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Zadanie 20 - Stereometria (1 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 20Stereometria1 pkt
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe 5454. Długość przekątnej tego sześcianu jest równa
  • A6\sqrt{6}
  • B33
  • C99
  • D333\sqrt{3}

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Sześcian ma 66 przystających ścian, więc jedna ściana ma pole 54:6=954 : 6 = 9. Ściana jest kwadratem, zatem krawędź ma długość a=3a = 3.

Przekątna sześcianu o krawędzi aa to a3a\sqrt{3}:

d=33d = 3\sqrt{3}

Ten sam wynik daje twierdzenie Pitagorasa dla krawędzi 33 i przekątnej podstawy 323\sqrt{2}: d2=9+18=27d^2 = 9 + 18 = 27, d=27=33d = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}.

Odpowiedź: D

333\sqrt{3}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Zadanie 25 - Dowód algebraiczny (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 25Inne2 pktOtwarte
Uzasadnij, że jeżeli a+b=1a + b = 1 i a2+b2=7a^2 + b^2 = 7 , to a4+b4=31a^4 + b^4 = 31 .
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Najpierw iloczyn abab. Podnosimy do kwadratu pierwszą równość:

(a+b)2=a2+2ab+b2⇒1=7+2ab⇒ab=−3(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \quad\Rightarrow\quad 1 = 7 + 2ab \quad\Rightarrow\quad ab = -3

Teraz podnosimy do kwadratu drugą równość:

(a2+b2)2=a4+2a2b2+b4⇒a4+b4=72−2(ab)2(a^2+b^2)^2 = a^4 + 2a^2b^2 + b^4 \quad\Rightarrow\quad a^4 + b^4 = 7^2 - 2(ab)^2

Podstawiamy ab=−3ab = -3:

a4+b4=49−2⋅9=49−18=31a^4 + b^4 = 49 - 2\cdot 9 = 49 - 18 = 31

co kończy uzasadnienie.

Odpowiedź:

Dowód: z ab=−3ab = -3 wynika a4+b4=49−18=31a^4 + b^4 = 49 - 18 = 31.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie

Zadanie 28 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 28Trygonometria2 pktOtwarte
Kąt α\alpha jest ostry i sin⁡αcos⁡α+cos⁡αsin⁡α=2\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }+\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=2. Oblicz wartość wyrażenia cos⁡α⋅sin⁡α\cos \alpha \cdot \sin \alpha.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Kąt jest ostry, więc sin⁡α>0\sin\alpha > 0 i cos⁡α>0\cos\alpha > 0. Mnożymy obie strony równania przez sin⁡αcos⁡α\sin\alpha\cos\alpha:

sin⁡2α+cos⁡2α=2sin⁡αcos⁡α\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha

Z jedynki trygonometrycznej lewa strona jest równa 11:

1=2sin⁡αcos⁡α⇒sin⁡αcos⁡α=121 = 2\sin\alpha\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad \sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{2}
Odpowiedź:

cos⁡α⋅sin⁡α=12\cos\alpha\cdot\sin\alpha = \frac{1}{2}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Trygonometria

Zadanie 33 - Stereometria (otwarte, 4 pkt) ↗

Matura maj 2011Zadanie 33Stereometria4 pktOtwarte
Punkty KK, LL i MM są środkami krawędzi BCBC, GHGH i AEAE sześcianu ABCDEFGHABCDEFGH o krawędzi długości 11 (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta KLMKLM.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Każdy bok trójkąta KLMKLM jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o tych samych wymiarach (trójkąty AKMAKM, GKLGKL i ELMELM są przystające), więc trójkąt KLMKLM jest równoboczny. Wystarczy policzyć jeden bok, na przykład MKMK.

W podstawie, z trójkąta ABKABK (∣AB∣=1|AB| = 1, ∣BK∣=12|BK| = \frac{1}{2}):

∣AK∣2=12+(12)2=54|AK|^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}

Krawędź AEAE jest prostopadła do podstawy, więc trójkąt AMKAMK jest prostokątny, a ∣AM∣=12|AM| = \frac{1}{2}:

∣MK∣2=∣AM∣2+∣AK∣2=14+54=32|MK|^2 = |AM|^2 + |AK|^2 = \frac{1}{4} + \frac{5}{4} = \frac{3}{2}

Pole trójkąta równobocznego o boku aa to a234\frac{a^2\sqrt{3}}{4}:

PKLM=32⋅34=338P_{KLM} = \frac{\frac{3}{2}\cdot\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{8}
Odpowiedź:

PKLM=338P_{KLM} = \frac{3\sqrt{3}}{8}

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Stereometria

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Równania i nierówności to główny temat. 11 punktów z 50 to ponad jedna piąta arkusza. Musisz pewnie operować równaniami kwadratowymi, wymiernymi, z pierwiastkami. Równania i nierówności to fundament matury.

Stereometria wymagająca, ale przewidywalna. 7 punktów ze stereometrii to sporo, ale zadania są wzorcowe. Prostopadłościan, sześcian, stożek - zawsze ten sam schemat: znajdź przekrój, zastosuj Pitagorasa, oblicz pole albo objętość. Stereometria to dział, gdzie systematyczne ćwiczenie daje najszybszy efekt.

Geometria analityczna to proste i okręgi. Musisz umieć liczyć odległości, środki odcinków, współczynniki kierunkowe, równania prostych. Dwa z trzech zadań tego działu (19 i 31) dotyczą stycznej do okręgu. Geometria analityczna to most między algebrą a geometrią.

Ciągi są proste, jeśli znasz wzory. Ciągi to dział, gdzie nauka wzorów daje natychmiastowy efekt na maturze.

Funkcje kwadratowe w różnych postaciach. Musisz swobodnie przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową - to oszczędza czas i błędy.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Porównaj z arkuszem 2010. Zrób oba i zobacz, jak zmieniły się proporcje. W maturze maj 2010 dominowała planimetria, w 2011 równania i stereometria. To pokazuje, że CKE szuka balansu.

Twórz kartę błędów. Wpisuj każdy błąd do tabeli: numer zadania, kategoria, co poszło nie tak. Po miesiącu zobaczysz wzorce.

Ucz się z rozwiązań krok po kroku. Komisja ocenia drogę, nie tylko cel. Trenuj zapis rozwiązań.

Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź maturę maj 2012 lub maturę maj 2013. Im więcej arkuszy przeanalizujesz, tym lepiej poznasz logikę CKE. Wszystkie zadania czekają w bazie arkuszy maturalnych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura maj 2011

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Arkusz matury z matematyki z maja 2010: rozkład kategorii i punktacji. Pierwszy egzamin w nowej formule, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2012: 34 zadania za 50 punktów z wyraźnym naciskiem na równania i nierówności, rozkład kategorii i rozwiązania pięciu wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, termin dodatkowy czerwiec 2012: 34 zadania za 50 punktów, wyraźny nacisk na geometrię, rozkład kategorii i rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Pliki cookie

Niezbędne pliki cookie utrzymują logowanie i ustawienia. Za Twoją zgodą używamy też analitycznych (PostHog) i reklamowych (Meta, Google Ads), żeby wiedzieć, które kampanie działają. Bez zgody liczymy wizyty anonimowo, bez plików cookie. Wybór zmienisz w każdej chwili. Polityka prywatności