Wykaż, że jeśli a>0, to (a²+1)/(a+1) ≥ (a+1)/2 .

Krok 1. Doprowadzenie nierówności wymiernej do postaci ogólnej.

Analizujemy sytuację, w której a > 0. To bardzo ważna informacja, bo dzięki niej mamy pewność, że chcąc pomnożyć obie strony przez a+1 nie zmieni nam się znak nierówności, bo a+1 jest na pewno dodatnie. Przypomnę, że gdybyśmy pomnożyli nierówność przez wartość ujemną, to zmieniłby nam się jej znak. Tutaj takich obaw nie ma, dlatego możemy wymnożyć obie strony równania przez a+1 oraz przez 2. Możemy to zrobić za jednym razem, albo też krok po kroku, aby uniknąć niepotrzebnych pomyłek.

(a²+1)/(a+1) ≥ (a+1)/2 / · (a+1) a²+1 ≥ (a+1) · (a+1)/2 / · 2 2a²+2 ≥ (a+1)² 2a²+2 ≥ a²+2a+1 a²-2a+1 ≥ 0

Teraz zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:

Sposób I:

Krok 2a. Przekształcenie nierówności przy użyciu wzorów skróconego mnożenia.

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy zapisać, że a²-2a+1=(a-1)², a więc otrzymamy:

(a-1)² ≥ 0

Krok 3a. Interpretacja wyniku.

Każda liczba (czy to dodatnia, czy to ujemna) podniesiona do potęgi drugiej da nam wartość większą lub równą zero, więc udowodniliśmy że twierdzenie wskazane w zadaniu jest prawdziwe.

Sposób II:

Krok 2b. Wyznaczenie miejsc zerowych nierówności a²-2a+1 ≥ 0.

Współczynniki: a=1, b=-2, c=1

Δ=b²-4ac=(-2)²-4 · 1 · 1=4-4=0 √(Δ)=√(0)=0

a=-b/(2a)=-(-2)/(2 · 1)=2/2=1

Krok 3b. Szkicowanie wykresu paraboli.

Parabola ma ramiona skierowane ku górze, bo współczynnik kierunkowy a stojący przed wartością x² jest dodatni. Wykres będzie więc wyglądał następująco:

Krok 4b. Odczytanie rozwiązania z wykresu i interpretacja wyniku.

Szukamy przedziałów, w których wykres naszej funkcji jest dodatni lub równy zero, czyli kiedy wykres jest nad osią lub na niej. Okazuje się, że każda liczba spełnia warunki naszego zadania, a to oznacza, że udowodniliśmy, że także liczby dodatnie a > 0 spełniają warunki tej nierówności.