O arkuszu - Matura maj 2010
Matura z matematyki w maju 2010 roku przeszła do historii jako pierwszy egzamin w nowej formule. To był przełomowy moment - koniec ze starym systemem, początek ery nowych standardów. Arkusz zawierał 34 zadania, w naszej bazie warte łącznie 49 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli zaledwie 15 punktów, ale statystyki pokazały, że wielu maturzystów miało problem z tym arkuszem. Główny powód? Absolutna dominacja planimetrii - aż 9 zadań z tego działu, co stanowiło prawie 30% punktów do zdobycia. W późniejszych latach CKE bardziej zbalansowała arkusze, ale w 2010 roku wiedza o trójkątach, wielokątach i okręgach była absolutnie kluczowa. Jeśli analizujesz stare arkusze w ramach przygotowań, ten egzamin pokaże Ci, jak ważne jest opanowanie wszystkich działów - żaden temat nie jest "mało ważny". Wszystkie zadania z tego arkusza znajdziesz w naszej kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025, gdzie możesz ćwiczyć je w trybie interaktywnym.
Rozkład kategorii w arkuszu
| Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Procent arkusza |
|---|---|---|---|
| Planimetria | 9 | 14 | 28.6% |
| Równania i nierówności | 6 | 8 | 16.3% |
| Stereometria | 3 | 6 | 12.2% |
| Prawdopodobieństwo | 1 | 4 | 8.2% |
| Geometria analityczna | 3 | 3 | 6.1% |
| Trygonometria | 2 | 3 | 6.1% |
| Ciągi | 2 | 2 | 4.1% |
| Inne | 8 | 9 | 18.4% |
Jak widzisz, planimetria to był absolutny boss tego arkusza. 14 z 49 punktów, jakie ten arkusz ma w naszej bazie! To więcej niż równania i nierówności, które zazwyczaj dominują na maturze. Taka struktura wymuszała solidne przygotowanie z geometrii płaskiej - nie dało się zdać tego egzaminu, ignorując trójkąty i okręgi. Drugi istotny wniosek: stereometria również miała spory udział (6 punktów), więc geometria przestrzenna też wymagała uwagi. W kategorii "Inne" ukryte są pojedyncze zadania z procentów, potęg, logarytmów, wyrażeń algebraicznych, funkcji kwadratowej, funkcji liniowej i statystyki, a do tego jedno zadanie na dowód nierówności - w naszej bazie razem 8 zadań za 9 punktów.
Poziom trudności
Zadania za 1 punkt (w naszej bazie 25 zadań za 25 punktów): Wszystkie zadania o numerach od 1 do 25 - proste obliczenia, podstawowe wzory, rozpoznawanie własności. To był fundament, na którym budowało się zaliczenie matury. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia z potęgami, wskaż równanie okręgu o danym promieniu, policz przekątne wielokąta foremnego, oblicz procent z liczby.
Zadania za 2 punkty (w naszej bazie 6 zadań za 12 punktów): Zadania o numerach od 26 do 31. Wymagały dwóch, trzech kroków rozumowania, zastosowania kilku wzorów.
Zadania za 4 punkty (w naszej bazie 3 zadania, o numerach 32, 33 i 34): Wymagały złożonego rozumowania i połączenia wiedzy z kilku działów. To tutaj rozgrywały się losy najwyższych wyników.
Rozwiązania wybranych zadań
Wybraliśmy osiem zadań z ośmiu różnych działów, po jednym na dział: pięć zamkniętych za 1 punkt, dwa otwarte za 2 punkty i jedno otwarte za 4 punkty (punktacja z naszej bazy). Kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i rozwiązać zadanie w aplikacji; rozwiązanie krok po kroku rozwija się pod kartą.
Procenty (zadanie 2)
Cena po obniżce to nie jest procent obniżki, tylko reszta, która po niej zostaje - i na tym potyka się większość osób rozwiązujących to zadanie w pośpiechu. Wskazówka: oznacz cenę sprzed obniżki literą i zapisz jedno równanie, zamiast podstawiać kolejne odpowiedzi.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Oznaczmy przez cenę spodni przed obniżką. Obniżka o zabiera , więc do zapłaty zostaje:
Tę kwotę znamy z treści, to zł:
Odpowiedź: B, czyli zł
Najczęstszy błąd to potraktowanie zł jako ceny wyjściowej i doliczenie do niej - wychodzi wtedy zł, czyli odpowiedź A. Procent zawsze liczy się od wielkości sprzed zmiany, a tej właśnie w tym zadaniu szukamy. Sprawdzenie jest natychmiastowe: ze zł to zł, a . Więcej takich schematów zebraliśmy w dziale procenty.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Logarytmy (zadanie 4)
Obie liczby to logarytmy o tej samej podstawie, więc nie trzeba liczyć żadnej z nich osobno. Wskazówka: suma logarytmów o wspólnej podstawie to logarytm iloczynu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie:
Stąd:
Zostaje pytanie, do jakiej potęgi podnieść , żeby dostać . Ponieważ :
Odpowiedź: B, czyli
Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku i bywa szybszy, gdy podstawa nie jest tak wygodna: oraz , więc , , a suma tych ułamków to . Komplet wzorów, bez których to zadanie robi się długie, znajdziesz w przewodniku po logarytmach.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Ciągi (zadanie 12)
Między pierwszym a czwartym wyrazem ciągu są trzy kroki, nie cztery - to jedyne miejsce, w którym łatwo się tu pomylić. Wskazówka: zapisz czwarty wyraz wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i rozwiąż równanie z niewiadomym ilorazem.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Wyraz ogólny ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie i ilorazie :
Dla daje to:
Podstawiamy dane z treści, czyli i :
Odpowiedź: B, czyli
Sprawdzenie zajmuje chwilę i warto je zrobić: to rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie . Pułapka siedzi w wykładniku - kto zapisze , dostanie i utknie. Cały dział z przykładami omawiamy w przewodniku po ciągach arytmetycznych i geometrycznych.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Planimetria (zadanie 18)
Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg dzieli ten okrąg na trzy jednakowe łuki, więc odpowiedź da się podać bez jednego obliczenia na kartce. Wskazówka: kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku są ze sobą związane stałą zależnością.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Wierzchołki , , leżą na okręgu i tworzą trójkąt równoboczny, więc dzielą okrąg na trzy łuki jednakowej długości. Pełny kąt ma , zatem kąt środkowy oparty na jednym z tych łuków ma miarę:
Do tego samego wyniku prowadzi twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Kąt wpisany jest kątem trójkąta równobocznego, czyli ma , a kąt środkowy oparty na tym samym łuku jest od niego dwa razy większy:
Odpowiedź: A, czyli
Zależność "kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku" wraca w planimetrii niemal co roku i warto ją mieć w palcach razem z jej konsekwencją: kąt wpisany oparty na średnicy ma .
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Geometria analityczna (zadanie 22)
Trójkąt jest równoboczny, więc cała robota to policzenie jednego boku. Wskazówka: obwód jest potrojoną odległością danych punktów, a odległość liczy się wzorem, który jest twierdzeniem Pitagorasa w przebraniu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Długość odcinka o końcach i liczymy ze wzoru:
Podstawiamy oraz :
Trójkąt jest równoboczny, więc każdy jego bok ma tę samą długość, a obwód wynosi:
Odpowiedź: C, czyli
Pułapka siedzi w odejmowaniu liczby ujemnej: , a nie . Kto pomyli tu znak, policzy , dostanie obwód i nie znajdzie takiej odpowiedzi wśród podanych. Warto też zauważyć, że trzeba uprościć do , bo w odpowiedziach nie ma postaci nieuproszczonej. Podstawy działu zebraliśmy w przewodniku po geometrii analitycznej.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Równania i nierówności (zadanie 27)
Wielomian trzeciego stopnia o czterech wyrazach prawie zawsze rozkłada się przez grupowanie. Wskazówka: pogrupuj dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie, a potem wyłącz przed nawias to, co się powtarza.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Grupujemy wyrazy parami:
Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik:
Teraz powtarza się cały nawias , więc wyłączamy i jego:
Drugi nawias to różnica kwadratów:
Iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników:
Odpowiedź: lub lub
W zadaniu otwartym liczy się kompletność: pominięcie choćby jednego z trzech pierwiastków to odpowiedź niepełna, mimo poprawnego rozkładu. Warto też zapisać sam rozkład, a nie tylko wynik - to on jest właściwym rozumowaniem. Kolejne typy równań i nierówności przećwiczysz w dziale równania i nierówności.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Inne (zadanie 30)
W dowodzie nierówności rzadko chodzi o sprytny pomysł, częściej o doprowadzenie obu stron do postaci, o której z góry wiadomo, że jest prawdziwa. Wskazówka: pomnóż obie strony przez mianownik, korzystając z tego, że przy założeniu z treści jest on dodatni, i zbij wszystko do jednego kwadratu.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Z założenia , więc , a to znaczy, że wolno pomnożyć obie strony przez bez zmiany kierunku nierówności. Wychodzimy od tezy:
Po pomnożeniu stronami przez :
Rozwijamy obie strony:
Przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy:
Lewa strona jest kwadratem różnicy:
Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ta nierówność jest prawdziwa zawsze. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem prawdziwa jest również nierówność wyjściowa. Równość zachodzi dokładnie dla , co kończy dowód.
Odpowiedź: dowód zakończony; nierówność jest prawdziwa dla każdego , a równość zachodzi dla
Newralgiczne miejsce tego dowodu to zdanie o znaku wyrażenia . Bez powołania się na założenie mnożenie stronami nie jest uzasadnione i rozumowanie ma lukę, nawet jeśli końcowy rachunek się zgadza. O tym, jak zapisywać takie zadania, żeby nic nie zgubić po drodze, piszemy w poradniku jak rozwiązywać zadania otwarte.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Stereometria (zadanie 32)
Krawędź jest wysokością ostrosłupa, czyli jest prostopadła do całej płaszczyzny podstawy - a stąd wynika, że trójkąty i są prostokątne. Wskazówka: najpierw wyznacz krawędzie podstawy z twierdzenia Pitagorasa, dopiero potem licz pole podstawy.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie:
Skoro jest wysokością ostrosłupa, to oraz . Trójkąt jest więc prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest :
Tak samo liczymy w trójkącie , bo :
Podstawa jest zatem trójkątem równoramiennym o ramionach długości i podstawie . Wysokość opuszczona na dzieli tę podstawę na połowy, czyli na dwa odcinki po :
Pole podstawy:
Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru , gdzie wysokością jest :
Odpowiedź:
Zadanie warte punkty sprowadza się do trzech zastosowań twierdzenia Pitagorasa i jednego wzoru na objętość. Kluczem jest zdanie z treści o tym, że to krawędź jest wysokością: bez niego nie wiadomo, w którym punkcie podstawy stoi spodek wysokości, i zadania nie da się policzyć. Powtórkę brył i wzorów znajdziesz w dziale stereometria.
Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze
Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu
Planimetria rządzi. Aż 9 zadań z planimetrii daje 28,6% punktów arkusza, najwięcej wśród arkuszy pojedynczych sesji w naszej bazie. Okręgi wpisane i opisane, trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pola wielokątów - wszystko to pojawiło się wielokrotnie. Jeśli nie czujesz się pewnie w planimetrii, ten arkusz pokaże Ci dokładnie, czego Ci brakuje.
Równania wymierne wymagają dyscypliny. Zadanie 6 to równanie wymierne i pokazuje, jak łatwo popełnić błąd, pomijając dziedzinę. Mianownik nigdy nie może się zerować - to jedna z najczęstszych pułapek na maturze.
Stereometria to przekroje i trójkąty. Zadanie 32 pokazuje wzorcowy schemat ze stereometrii: szukasz w bryle trójkąta prostokątnego, stosujesz twierdzenie Pitagorasa, a dopiero na końcu podstawiasz do wzoru na objętość.
Trygonometria to wzory i tożsamości. Jedynka trygonometryczna () i definicja tangensa () to absolutne minimum, które musisz znać na pamięć z trygonometrii.
Nie lekceważ zadań za 1 punkt. Zadanie 3 (potęgi) zajmuje 30 sekund, jeśli pamiętasz, że każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Nauka potęg i pierwiastków to inwestycja w szybkie punkty.
Jak wykorzystać ten arkusz do nauki
Zrób go w całości na czas. 170 minut to oficjalny limit tego arkusza; obecna matura w Formule 2023 trwa 180 minut. Wydrukuj arkusz, wyłącz telefon, postaw stoper. Trening czasowy to połowa sukcesu.
Przeanalizuj każdy błąd. Nie patrz od razu na rozwiązanie. Spróbuj znaleźć błąd samodzielnie. Dopiero jak naprawdę nie wiesz, gdzie jest problem, zajrzyj do rozwiązań krok po kroku.
Poukładaj zadania według kategorii. Zrób sobie tabelkę - zobaczysz wtedy wzorce. CKE nie wymyśla za każdym razem czegoś nowego, tylko zmieniają się liczby i kontekst.
Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź maturę maj 2011 lub maturę maj 2012. Im więcej arkuszy przećwiczysz, tym pewniejszy się poczujesz na egzaminie. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie arkuszy maturalnych.
