Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2010

Matura z matematyki w maju 2010 roku przeszła do historii jako pierwszy egzamin w nowej formule, obowiązującej do dziś. To był przełomowy moment - koniec ze starym systemem, początek ery nowych standardów. Arkusz zawierał 34 zadania warte łącznie 49 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli zaledwie 15 punktów, ale statystyki pokazały, że wielu maturzystów miało problem z tym arkuszem. Główny powód? Absolutna dominacja planimetrii - aż 9 zadań z tego działu, co stanowiło prawie 30% punktów do zdobycia. W późniejszych latach CKE bardziej zbalansowała arkusze, ale w 2010 roku wiedza o trójkątach, wielokątach i okręgach była absolutnie kluczowa. Jeśli analizujesz stare arkusze w ramach przygotowań, ten egzamin pokaże Ci, jak ważne jest opanowanie wszystkich działów - żaden temat nie jest "mało ważny". Wszystkie zadania z tego arkusza znajdziesz w naszej kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025, gdzie możesz ćwiczyć je w trybie interaktywnym.

Rozkład kategorii w arkuszu

Jak widzisz, planimetria to był absolutny boss tego arkusza. 14 punktów z 49 możliwych! To więcej niż równania i nierówności, które zazwyczaj dominują na maturze. Taka struktura wymuszała solidne przygotowanie z geometrii płaskiej - nie dało się zdać tego egzaminu, ignorując trójkąty i okręgi. Drugi istotny wniosek: stereometria również miała spory udział (6 punktów), więc geometria przestrzenna też wymagała uwagi. W kategorii "Inne" ukryte są pojedyncze zadania z procentów, potęg, logarytmów, wyrażeń algebraicznych, funkcji kwadratowej, funkcji liniowej i statystyki.

Poziom trudności

Zadania łatwe (1 punkt, około 20-24 punkty do zdobycia): Większość zadań zamkniętych - proste obliczenia, podstawowe wzory, rozpoznawanie własności. To był fundament, na którym budowało się zaliczenie matury. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia z potęgami, wskaż równanie prostej przechodzące przez dwa punkty, rozpoznaj rodzaj wielokąta, oblicz procent z liczby.

Zadania średnie (2-3 punkty, około 15-18 punktów): Częściowo zadania zamknięte wielopunktowe, częściowo początkowe zadania otwarte. Wymagały dwóch, trzech kroków rozumowania, zastosowania kilku wzorów. Przykłady: rozwiąż układ równań z parametrem, oblicz pole trójkąta znając współrzędne wierzchołków, wyznacz prawdopodobieństwo w doświadczeniu dwuetapowym, zastosuj wzory redukcyjne w trygonometrii.

Zadania trudne (4 punkty, około 6-10 punktów): Głównie zadania otwarte, wymagające złożonego rozumowania, połączenia wiedzy z kilku działów, dowodów geometrycznych. To tutaj rozgrywały się losy wyników powyżej 70-80%. Przykłady: zadanie stereometryczne wymagające przekroju i obliczeń trygonometrycznych, zadanie z planimetrii z okręgami wpisanymi i opisanymi, złożone zadanie z prawdopodobieństwem warunkowym.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 5 - Potęgi (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz wartość wyrażenia $\frac{8^{-2} \cdot 16^3}{4^{-4}}$.

Rozwiązanie:

Kluczem do tego zadania jest sprowadzenie wszystkich liczb do tej samej podstawy. Zauważ, że $8 = 2^3$, $16 = 2^4$, $4 = 2^2$.

$$8^{-2} = (2^3)^{-2} = 2^{-6}$$ $$16^3 = (2^4)^3 = 2^{12}$$ $$4^{-4} = (2^2)^{-4} = 2^{-8}$$

Teraz podstawiamy:

$$\frac{2^{-6} \cdot 2^{12}}{2^{-8}} = \frac{2^{-6+12}}{2^{-8}} = \frac{2^6}{2^{-8}}$$

Pamiętaj, że dzielenie potęg o tej samej podstawie to odejmowanie wykładników:

$$\frac{2^6}{2^{-8}} = 2^{6-(-8)} = 2^{6+8} = 2^{14} = 16384$$

Jeśli chcesz opanować potęgi i pierwiastki, pamiętaj o trzech podstawowych działaniach: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

Odpowiedź: 16384

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 12 - Planimetria (2 pkt) ↗

Treść: Trójkąt prostokątny ABC ma przyprostokątne długości 6 cm i 8 cm. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od szkicu sytuacji. Mamy trójkąt prostokątny z przyprostokątnymi $a = 6$ cm i $b = 8$ cm. Najpierw musimy obliczyć przeciwprostokątną $c$ z twierdzenia Pitagorasa:

$$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Teraz użyjemy wzoru na promień okręgu wpisanego w trójkąt:

$$r = \frac{P}{p}$$

gdzie $P$ to pole trójkąta, a $p$ to połowa obwodu (półobwód).

Pole trójkąta prostokątnego:

$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ cm}^2$$

Półobwód:

$$p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + 10}{2} = \frac{24}{2} = 12 \text{ cm}$$

Zatem promień okręgu wpisanego:

$$r = \frac{24}{12} = 2 \text{ cm}$$

Istnieje też specjalny wzór dla trójkąta prostokątnego: $r = \frac{a + b - c}{2}$. Sprawdźmy: $r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ cm. Zgadza się!

Odpowiedź: 2 cm

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 18 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż nierówność $\frac{x-3}{x+2} \geq 0$.

Rozwiązanie:

To klasyczne zadanie z nierówności wymiernymi. Musimy znaleźć miejsca zerowe licznika i mianownika, a potem sprawdzić znaki w poszczególnych przedziałach.

Miejsca zerowe licznika: $x - 3 = 0$, czyli $x = 3$.

Miejsca zerowe mianownika: $x + 2 = 0$, czyli $x = -2$ (to jednocześnie dziedzina - wykluczamy ten punkt).

Teraz rozrysujmy oś liczbową z punktami $x = -2$ i $x = 3$:

Przedział 1: $x < -2$. Weźmy $x = -3$. Wtedy $\frac{-3-3}{-3+2} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0$. Znak dodatni.

Przedział 2: $-2 < x < 3$. Weźmy $x = 0$. Wtedy $\frac{0-3}{0+2} = \frac{-3}{2} < 0$. Znak ujemny.

Przedział 3: $x > 3$. Weźmy $x = 4$. Wtedy $\frac{4-3}{4+2} = \frac{1}{6} > 0$. Znak dodatni.

Szukamy przedziałów, gdzie wyrażenie jest większe lub równe zero. To przedziały 1 i 3. W punkcie $x = 3$ licznik się zeruje, więc całe wyrażenie wynosi 0, co spełnia warunek $\geq 0$. Punkt $x = -2$ wykluczamy, bo tam mianownik się zeruje.

Odpowiedź: $x \in (-\infty, -2) \cup [3, +\infty)$