Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2012

Matura z matematyki z maja 2012 roku to trzeci egzamin prowadzony według nowej formuły. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli 15 punktów, a średnia krajowa wyniosła około 51%, co wskazuje na umiarkowany poziom trudności. Ten arkusz wyróżniał się silnym naciskiem na algebrę, szczególnie równania i nierówności (11 punktów), co wymagało od zdających solidnej znajomości przekształceń algebraicznych. Równocześnie pojawił się szeroki wachlarz zadań z planimetrii (8 punktów) oraz geometrii analitycznej (5 punktów), co czyniło ten egzamin dobrze zbalansowanym testem umiejętności.

Rozkład kategorii w arkuszu

Największą wagę miały równania i nierówności (11 pkt), co było charakterystyczne dla arkuszy z tego okresu. Geometria (planimetria + stereometria) dawała łącznie 14 punktów - opanowanie tych działów było kluczowe.

Poziom trudności

Zadania łatwe (1 punkt, ok. 15 punktów): Typowe zadania sprawdzające podstawy - działania na potęgach, proste równania, odczyt danych z wykresu, podstawowe własności figur płaskich.

Zadania średnie (2-3 punkty, ok. 20 punktów): Równania z pierwiastkami, przekształcenia wykresów, obliczenia w stereometrii, zadania z ciągów arytmetycznych i geometrycznych.

Zadania trudne (4-5 punktów, ok. 15 punktów): Skomplikowane równania, złożone problemy geometryczne, zadania z ciągów z warunkami brzegowymi.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 15 - Równania i nierówności (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $\sqrt{2x + 3} = x$.

Rozwiązanie:

Warunek istnienia: $2x + 3 \geq 0$, czyli $x \geq -\frac{3}{2}$. Prawa strona musi być nieujemna: $x \geq 0$.

Podnosimy do kwadratu:

$$2x + 3 = x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0$$ $$\Delta = 4 + 12 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$

Sprawdzamy dziedzinę $x \geq 0$: odrzucamy $x_1 = -1$, zostaje $x_2 = 3$.

Weryfikacja: $\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3$. Zgadza się!

Odpowiedź: $x = 3$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 21 - Planimetria (2 pkt) ↗

Treść: W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną.

Rozwiązanie:

Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: $c = \sqrt{25 + 144} = 13$ cm.

Pole trójkąta na dwa sposoby:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ cm}^2 \quad \text{i} \quad P = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h$$

Stąd: $h = \frac{60}{13}$ cm.

Odpowiedź: $\frac{60}{13}$ cm (ok. 4,62 cm)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Ciągi (5 pkt) ↗

Treść: Dany jest ciąg arytmetyczny $(a_n)$, w którym $a_1 = 7$ oraz $a_5 = 23$. Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu.

Rozwiązanie:

Wyznaczamy różnicę ciągu:

$$a_5 = a_1 + 4r \quad \Rightarrow \quad 23 = 7 + 4r \quad \Rightarrow \quad r = 4$$

Obliczamy $a_{10}$:

$$a_{10} = 7 + 9 \cdot 4 = 43$$

Suma pierwszych 10 wyrazów:

$$S_{10} = \frac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10(7 + 43)}{2} = \frac{500}{2} = 250$$

Odpowiedź: 250

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 29 - Stereometria (3 pkt) ↗

Treść: Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz objętość.

Rozwiązanie:

$$P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2$$ $$V = P_p \cdot H = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}^3$$

Odpowiedź: 60 cm³

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 34 - Równania i nierówności (4 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż układ równań:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$$

Rozwiązanie:

Z drugiego równania: $y = 7 - x$. Podstawiamy do pierwszego:

$$x^2 + (7 - x)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 14x + 49 = 25$$ $$2x^2 - 14x + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 7x + 12 = 0$$ $$(x - 3)(x - 4) = 0$$

Dla $x = 3$: $y = 4$. Dla $x = 4$: $y = 3$.

Sprawdzenie: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Zgadza się!

Odpowiedź: $(x, y) = (3, 4)$ lub $(x, y) = (4, 3)$

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Duża waga algebry: Równania i nierówności to aż 11 punktów. Musisz pewnie operować wzorami skróconego mnożenia, rozkładem na czynniki, warunkami istnienia rozwiązań. Typowe pułapki: nieuwzględnienie dziedziny, podnoszenie do kwadratu bez sprawdzenia.

Planimetria wymaga znajomości twierdzeń: W zadaniach z planimetrii pojawiają się: twierdzenie Pitagorasa, cechy podobieństwa trójkątów, wzory na pola i obwody. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć wyciągnąć informacje z rysunku.

Ciągi - wzory ogólne i sumy: W zadaniach z ciągów najczęściej obliczasz różnicę lub iloraz z danych wyrazów, a potem korzystasz ze wzorów na n-ty wyraz i sumę.

Stereometria to głównie objętości: Zadania z stereometrii koncentrują się na graniastosłupach i ostrosłupach. Kluczowe wzory: $V = P_p \cdot H$ i $V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Opanuj równania i planimetrię. To razem prawie 40% arkusza. Przećwicz typowe metody: rozkład na czynniki, podstawianie, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów.

Rozwiązuj systematycznie wszystkie 34 zadania. Nie poprzestawaj na przeglądaniu - weź kartkę i rozwiąż każde od zera.

Porównaj z maturą maj 2010 i maj 2011, żeby zobaczyć ewolucję formuły. Jeśli opanujesz ten arkusz, dobrze sobie poradzisz też z czerwcem 2012 i maturą maj 2013. Jeśli potęgi i pierwiastki lub logarytmy to Twoja słabość, poświęć im dodatkowy czas. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie arkuszy maturalnych.