Przejdź do treści

Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2012: 34 zadania za 50 punktów z wyraźnym naciskiem na równania i nierówności, rozkład kategorii i rozwiązania pięciu wybranych zadań krok po kroku.

Opublikowano: · zaktualizowano · 4 min czytania

Spis treści

O arkuszu - Matura maj 2012

Matura z matematyki z maja 2012 roku to trzecia matura, na której matematyka była obowiązkowa. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli 15 punktów. Ten arkusz wyróżniał się silnym naciskiem na algebrę, szczególnie równania i nierówności (11 punktów), co wymagało od zdających solidnej znajomości przekształceń algebraicznych. Równocześnie pojawił się szeroki wachlarz zadań z planimetrii (8 punktów) oraz geometrii analitycznej (5 punktów), co czyniło ten egzamin dobrze zbalansowanym testem umiejętności.

Rozkład kategorii w arkuszu

KategoriaLiczba zadańPunkty
Równania i nierówności511
Planimetria78
Stereometria36
Ciągi25
Geometria analityczna45
Potęgi i pierwiastki22
Trygonometria22
Wyrażenia algebraiczne12
Prawdopodobieństwo12
Procenty, Logarytmy, F. kwadratowa, F. liniowa, Funkcje, Kombinatoryka, Statystyka77

Największą wagę miały równania i nierówności (11 pkt), co było charakterystyczne dla arkuszy z tego okresu. Geometria (planimetria + stereometria) dawała łącznie 14 punktów - opanowanie tych działów było kluczowe.

Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2012

Poziom trudności

Zadania zamknięte (1 punkt, 25 zadań, łącznie 25 punktów): Typowe zadania sprawdzające podstawy - procenty, potęgi i pierwiastki, logarytm, równanie z wartością bezwzględną, suma rozwiązań równania kwadratowego, odczyt miejsc zerowych z wykresu, sinus w trójkącie prostokątnym, podstawowe własności figur płaskich.

Zadania otwarte za 2 punkty (6 zadań, łącznie 12 punktów): Nierówność kwadratowa, dowód nierówności ze średnimi, trzeci pierwiastek wielomianu, symetralna odcinka, dowód z dwusiecznymi kątów trójkąta, prawdopodobieństwo przy losowaniu ze zwracaniem.

Zadania otwarte za 4 i 5 punktów (3 zadania, łącznie 13 punktów): Ciąg arytmetyczny i geometryczny w jednym zadaniu (4 pkt), objętość ostrosłupa wpisanego w graniastosłup prawidłowy czworokątny (4 pkt), zadanie tekstowe o prędkościach dwóch pociągów (5 pkt).

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 15 - Planimetria (1 pkt) ↗

Matura maj 2012Zadanie 15Planimetria1 pkt
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu 55 jest równe
  • A2525
  • B5050
  • C7575
  • D100100

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest średnicą tego okręgu:

d=2r=2⋅5=10d = 2r = 2\cdot 5 = 10

Z zależności d=a2d = a\sqrt{2} dostajemy bok:

a=102=52a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}

Pole kwadratu:

P=a2=(52)2=50P = a^2 = (5\sqrt{2})^2 = 50

Szybciej: pole kwadratu to połowa kwadratu przekątnej, P=d22=1002=50P = \frac{d^2}{2} = \frac{100}{2} = 50.

Odpowiedź: B

5050

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Planimetria
Arkusz CKE z rozwiązaniami Rozwiąż arkusz: matura maj 2012

Zadanie 21 - Geometria analityczna (1 pkt) ↗

Matura maj 2012Zadanie 21Geometria analityczna1 pkt
Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x−6y+7=03x-6y+7=0
  • Ay=12xy=\frac{1}{2}x
  • By=−12xy=-\frac{1}{2}x
  • Cy=2xy=2x
  • Dy=−2xy=-2x

Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Sprowadzamy równanie do postaci kierunkowej:

3x−6y+7=0⇒6y=3x+7⇒y=12x+763x - 6y + 7 = 0 \quad\Rightarrow\quad 6y = 3x + 7 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{1}{2}x + \frac{7}{6}

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, tutaj 12\frac{1}{2}. Wśród odpowiedzi ma go tylko prosta y=12xy = \frac{1}{2}x.

Odpowiedź: A

y=12xy=\frac{1}{2}x

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 26 - Równania i nierówności (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2012Zadanie 26Równania i nierówności2 pktOtwarte
Rozwiąż nierówność x2+8x+15>0x^2 + 8x + 15 > 0.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Miejsca zerowe trójmianu dla a=1a=1, b=8b=8, c=15c=15:

Δ=82−4⋅1⋅15=64−60=4,Δ=2\Delta = 8^2 - 4\cdot 1\cdot 15 = 64 - 60 = 4, \qquad \sqrt{\Delta} = 2 x1=−8−22=−5,x2=−8+22=−3x_1 = \frac{-8-2}{2} = -5, \qquad x_2 = \frac{-8+2}{2} = -3

Współczynnik a=1a=1 jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę i trójmian jest dodatni na zewnątrz przedziału między pierwiastkami. Nierówność jest ostra, więc końce −5-5 i −3-3 nie należą do rozwiązania.

Odpowiedź:

x∈(−∞;−5)∪(−3;+∞)x \in (-\infty; -5) \cup (-3; +\infty)

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Zadanie 29 - Geometria analityczna (otwarte, 2 pkt) ↗

Matura maj 2012Zadanie 29Geometria analityczna2 pktOtwarte
Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A=(−2,2)A = (-2,2) i B=(2,10)B = (2,10).
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Symetralna przechodzi przez środek odcinka ABAB:

S=(−2+22,2+102)=(0,6)S = \left(\frac{-2+2}{2}, \frac{2+10}{2}\right) = (0, 6)

Prosta ABAB ma współczynnik kierunkowy

aAB=10−22−(−2)=84=2a_{AB} = \frac{10-2}{2-(-2)} = \frac{8}{4} = 2

Symetralna jest prostopadła do ABAB, więc jej współczynnik kierunkowy to −12-\frac{1}{2} (bo 2⋅(−12)=−12\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) = -1). Przechodzi przez S=(0,6)S=(0,6), czyli przecina oś OyOy w punkcie 66:

y=−12x+6y = -\frac{1}{2}x + 6
Odpowiedź:

y=−12x+6y = -\frac{1}{2}x + 6

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Geometria analityczna

Zadanie 34 - Równania i nierówności (otwarte, 5 pkt) ↗

Matura maj 2012Zadanie 34Równania i nierówności5 pktOtwarte
Miasto AA i miasto BB łączy linia kolejowa długości 210210 km. Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o 2424 km/h większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o 11 godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.
Pokaż rozwiązanie krok po kroku

Rozwiązanie:

Oznaczmy: vv - prędkość pociągu pospiesznego (km/h), tt - jego czas przejazdu (h). Pociąg osobowy jedzie z prędkością v−24v-24 przez t+1t+1 godzin. Z wzoru s=vts = vt:

{vt=210(v−24)(t+1)=210\begin{cases} vt = 210 \\ (v-24)(t+1) = 210 \end{cases}

Z pierwszego równania v=210tv = \frac{210}{t}. Podstawiamy do drugiego:

(210t−24)(t+1)=210\left(\frac{210}{t} - 24\right)(t+1) = 210 210+210t−24t−24=210/⋅t210 + \frac{210}{t} - 24t - 24 = 210 \quad\Big/\cdot t −24t2−24t+210=0/:(−6)-24t^2 - 24t + 210 = 0 \quad\Big/ :(-6) 4t2+4t−35=04t^2 + 4t - 35 = 0 Δ=16+560=576,Δ=24\Delta = 16 + 560 = 576, \qquad \sqrt{\Delta} = 24 t1=−4−248=−3,5,t2=−4+248=2,5t_1 = \frac{-4-24}{8} = -3{,}5, \qquad t_2 = \frac{-4+24}{8} = 2{,}5

Czas nie może być ujemny, więc t=2,5t = 2{,}5 h. Sprawdzenie: pospieszny jedzie 210:2,5=84210 : 2{,}5 = 84 km/h, osobowy 84−24=6084 - 24 = 60 km/h i potrzebuje 210:60=3,5210 : 60 = 3{,}5 h, czyli o godzinę dłużej.

Odpowiedź:

Pociąg pospieszny pokonuje trasę w 2,52{,}5 godziny.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Losuj kolejne zadanie z działu Równania i nierówności

Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu

Duża waga algebry: Równania i nierówności to aż 11 punktów. Musisz pewnie operować wzorami skróconego mnożenia, rozkładem na czynniki, warunkami istnienia rozwiązań. Typowe pułapki: nieuwzględnienie dziedziny, podnoszenie do kwadratu bez sprawdzenia.

Planimetria wymaga znajomości twierdzeń: W zadaniach z planimetrii pojawiają się: twierdzenie Pitagorasa, cechy podobieństwa trójkątów, wzory na pola i obwody. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć wyciągnąć informacje z rysunku.

Ciągi - wzory ogólne i sumy: W zadaniach z ciągów najczęściej obliczasz różnicę lub iloraz z danych wyrazów, a potem korzystasz ze wzorów na n-ty wyraz i sumę.

Stereometria to głównie objętości: Zadania z stereometrii koncentrują się na graniastosłupach i ostrosłupach. Kluczowe wzory: V=Pp⋅HV = P_p \cdot H i V=13Pp⋅HV = \frac{1}{3} P_p \cdot H.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

Opanuj równania i planimetrię. To razem prawie 40% arkusza. Przećwicz typowe metody: rozkład na czynniki, podstawianie, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów.

Rozwiązuj systematycznie wszystkie 34 zadania. Nie poprzestawaj na przeglądaniu - weź kartkę i rozwiąż każde od zera.

Porównaj z maturą maj 2010 i maj 2011, żeby zobaczyć ewolucję formuły. Jeśli opanujesz ten arkusz, dobrze sobie poradzisz też z czerwcem 2012 i maturą maj 2013. Jeśli potęgi i pierwiastki lub logarytmy to Twoja słabość, poświęć im dodatkowy czas. Wszystkie zadania znajdziesz w bazie arkuszy maturalnych.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Prawdziwe zadania z matur CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Rozwiąż ten arkusz sam, zadanie po zadaniu.

Rozwiąż arkusz: matura maj 2012

Arkusz CKE z rozwiązaniami

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Pobierz z App StorePobierz z Google Play

Czytaj dalej

Arkusz maturalny

Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, maj 2011: 33 zadania za 50 punktów, bardziej zbalansowany rozkład tematów z naciskiem na równania i stereometrię oraz rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Arkusz matury z matematyki z maja 2010: rozkład kategorii i punktacji. Pierwszy egzamin w nowej formule, poziom trudności i rozwiązania wybranych zadań krok po kroku.

Arkusz maturalny

Matura czerwiec 2012 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku

Matura z matematyki, termin dodatkowy czerwiec 2012: 34 zadania za 50 punktów, wyraźny nacisk na geometrię, rozkład kategorii i rozwiązania siedmiu wybranych zadań krok po kroku.

Pliki cookie

Niezbędne pliki cookie utrzymują logowanie i ustawienia. Za Twoją zgodą używamy też analitycznych (PostHog) i reklamowych (Meta, Google Ads), żeby wiedzieć, które kampanie działają. Bez zgody liczymy wizyty anonimowo, bez plików cookie. Wybór zmienisz w każdej chwili. Polityka prywatności