W dwóch hotelach wybudowano prostokątne baseny. Basen w pierwszym hotelu ma powierzchnię 240 m 2 . Basen w drugim hotelu ma powierzchnię 350 m 2 oraz jest o 5 m dłuższy i 2 m szerszy niż w pierwszym hotelu. Oblicz, jakie wymiary mogą mieć baseny w obu hotelach. Podaj wszystkie możliwe odpowiedzi.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 8 × 30 i 10 × 35 lub 12 × 20 i 14 × 25
Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
s - szerokość pierwszego basenu
d - długość pierwszego basenu
s+2 - szerokość drugiego basenu
d+5 - długość drugiego basenu
Krok 2. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Na podstawie tych danych możemy stworzyć prosty układ równań.
sd=240 (s+2)(d+5)=350
Wymnażamy wartości w nawiasach z drugiego równania:
sd=240 sd+5s+2d+10=350
Podstawiamy sd=240 z pierwszego równania do drugiego:
240+5s+2d+10=350 5s+2d=100
Skoro sd=240, to s=240/d. Podstawiamy to do naszego powyższego równania, otrzymując:
5 · 240/d+2d=100 1200/d+2d=100
Teraz musimy wymnożyć równanie przez d i doprowadzić je do postaci ogólnej równania kwadratowego (czyli takiej, gdzie po prawej stronie będzie wartość 0). Dzięki temu będziemy mogli skorzystać z metody delty.
1200/d+2d=100 / · d 1200+2d²=100d 2d²-100d+1200=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=2, b=-100, c=1200
Δ=b²-4ac=(-100)²-4 · 2 · 1200=10000-9600=400 √(Δ)=√(400)=20
d₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-100)-20)/(2 · 2)=80/4=20 d₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-100)+20)/(2 · 2)=120/4=30
Krok 4. Interpretacja wyniku i wyznaczenie ostatecznych długości basenów.
Otrzymaliśmy dwie różne możliwości długości krótszego basenu. Obydwie są poprawne, nie możemy ich odrzucić. W związku z tym będziemy mieć także dwa warianty szerokości tego basenu:
• Jeśli d=20, to szerokość pierwszego basenu musi być równa s=12, bo P=12 · 20=240. W związku z tym wymiary pierwszego basenu to s × d=12 × 20.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to (s+2) × (d+5), czyli w tym przypadku będzie to 14 × 25.
• Jeśli d=30, to szerokość pierwszego basenu musi być równa s=8, bo P=8 · 30=240. W związku z tym wymiary pierwszego basenu to s × d=8 × 30.
Zgodnie z naszymi oznaczeniami wymiary drugiego basenu to (s+2) × (d+5), czyli w tym przypadku będzie to 10 × 35.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.