W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa 6. Oblicz obwód tego trapezu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: Obw = 15+3√(3)
Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.
Z rysunku pomocniczego widzimy, że dzięki temu iż przekątna utworzyła nam trójkąt równoboczny to znamy już tak naprawdę trzy długości (z czego dwie przydadzą nam się bezpośrednio do obliczenia obwodu):
|AB|=|AC|=|BC|=6
Pozostaje nam do rozstrzygnięcia jaka jest długość boku DA oraz DC.
Krok 2. Obliczenie długości boku DA.
Długość tego boku jest identyczna co wysokość naszego trójkąta równoramiennego, czyli |DA|=|CE|. Znając długość boku trójkąta równobocznego możemy szybko obliczyć wysokość figury.
|DA|=h=a√(3)/2=6√(3)/2=3√(3)
Krok 3. Obliczenie długości boku DC.
Długość boku DC możemy obliczyć tak naprawdę na dwa sposoby. Jeśli pamiętamy, że wysokość trójkąta równobocznego dzieli podstawę na dwie równe części, to po wyprowadzeniu wysokości z wierzchołka C otrzymamy bok AE, którego długość jest równa 3 (patrz rysunek). Analogicznie więc bok DC ma długość 3.
Jeśli nie widzimy tej zależności, to możemy obliczyć długość boku DC z Twierdzenia Pitagorasa, bo długość DA i CA jest nam przecież znana.
a²+b²=c² |DC|²+|DA|²=|CA|² |DC|²+(3√(3))²=6² |DC|²+(9 · 3)=36 |DC|²+27=36 |DC|²=9 |DC|=3 |DC|=-3
(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)
Krok 4. Obliczenie długości obwodu.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc bez problemu obliczymy długość naszego obwodu:
Obw=6+6+3+3√(3)=15+3√(3)
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.