Trójkąty prostokątne równoramienne ABC i CDE są położone tak, jak na poniższym rysunku (w obu trójkątach kąt przy wierzchołku C jest prosty). Wykaż, że AD = BE.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Naszkicujmy rysunek pomocniczy, na którym zaznaczymy wymagane odcinki AD oraz BE (patrz kolor niebieski).
Krok 2. Udowodnienie, że trójkąty ACD i BCE są przystające (cecha bok-kąt-bok).
Z treści zadania wynika, że |AC|=|BC| (patrz: kolor zielony) oraz |DC|=|EC| (patrz: kolor pomarańczowy).
Jeśli jeszcze wykażemy, że trójkąty ACD i BCE mają identyczną miarę kąta przy wierzchołku C, to będziemy mogli stwierdzić, że trójkąty ACD i BCE są przystające. Jeśli tak rzeczywiście będzie, to będzie to oznaczało, że i trzecia para boków jest równej długości, czyli że |AD|=|BE|.
Zaznaczmy sobie na rysunku miary poszczególnych kątów.
Z zadania możemy wyczytać, że ∢ACB=90° oraz ∢DCE=90°, a więc:
α=90°-β γ=90°-β
Wykazując, że kąty α oraz γ są równej miary zakończyliśmy dowodzenie, bo już wiemy, że trójkąty ACD i BCE są przystające na mocy cechy bok-kąt-bok, a więc |AD|=|BE|.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.