Podstawą ostrosłupa ABCD jest trójkąt ABC. Krawędź AD jest wysokością ostrosłupa (zobacz rysunek). Oblicz objętość ostrosłupa ABCD, jeśli wiadomo, że AD = 12, BC = 6, BD = CD = 13.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=48
Krok 1. Stworzenie rysunku pomocniczego.
W zasadzie do obliczenia objętości brakuje nam tylko pola podstawy, bo wysokość bryły już znamy. Aby obliczyć to pole to potrzebna byłaby wysokość trójkąta, który znalazł się w podstawie. Wyliczymy ją bez problemu jeśli poznamy długości boków AB i AC i właśnie od tego rozpoczniemy obliczenia.
Krok 2. Obliczenie długości boków AB i AC.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa. Aby obliczyć bok AB wystarczy wziąć do obliczeń duży trójkąt ABD, którego miary dwóch boków są nam znane, a więc:
a²+b²=c² |AB|²+|AD|²=|BD|² |AB|²+12²=13² |AB|²+144=169 |AB|²=25 |AB|=5 |AB|=-5
(wartość ujemną odrzucamy, bo bok nie może mieć długości ujemnej)
Długość boku AC wyliczymy dokładnie w ten sam sposób, tyle tylko że skorzystamy z trójkąta ACD. Jego wymiary są identyczne co trójkąta ABD (są to więc trójkąty przystające), a więc i bok AC ma długość 5.
Krok 3. Obliczenie długości wysokości trójkąta ABC.
W podstawie mamy trójkąt równoramienny, a więc jego wysokość podzieli nam bok BC na dwie równe części. Wysokość trójkąta wyliczymy więc używając ponownie Twierdzenia Pitagorasa.
a²+b²=c² h²+|CE|²=|AC|² h²+3²=5² h²+9=25 h²=16 h=4 h=-4
(wartość ujemną oczywiście odrzucamy)
Krok 4. Obliczenie pola podstawy trójkąta znajdującego się w podstawie.
P_p=1/2 a · h P_p=1/2 · 6 · 4 P_p=12
Krok 5. Obliczenie objętości ostrosłupa.
Znając już wszystkie potrzebne miary możemy bez problemu obliczyć objętość ostrosłupa:
P_p=12 H=12 V=1/3 · P_p · H V=1/3 · 12 · 12=48
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.