Trójkąt ABC przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty B, C, N są współliniowe. Na boku AC wybrano punkt M tak, że |AM| = |CN|. Wykaż, że |BM| = |MN|.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Dorysowanie odcinka MD.
To zadanie możemy udowodnić tak naprawdę na kilka sposobów, ale najprostszy z nich opierać się będzie na zaznaczeniu punktu D na odcinku BC w taki sposób, by odcinek MD był równoległy do odcinka AB.
W ten sposób po dorysowaniu prostej równoległej otrzymaliśmy trójkąt równoboczny MDC, co z kolei oznacza, że |CM|=|MD|.
Ale to nie koniec spostrzeżeń. Z treści zadania wiemy, że |AM|=|CN|, a to oznacza, że także |BD|=|CN|.
Krok 2. Obliczenie miar kątów MCN oraz BDM.
Jak już sobie powiedzieliśmy wcześniej, dorysowując prostą równoległą w trójkącie równobocznym ABC otrzymaliśmy mniejszy trójkąt równoboczny MDC. To oznacza, że kąty wewnątrz tej figury są na pewno równe 60°. Skoro tak, to korzystając z własności kątów przyległych bez przeszkód wyznaczymy miary kątów MCN oraz BDM (patrz: rysunek).
|∢MCN|=180°-60°=120° |∢BDM|=180°-60°=120°
Krok 3. Interpretacja wyników.
W pierwszym kroku udowodniliśmy że dwie pary boków są tej samej długości: |CM|=|MD| oraz |BD|=|CN|. W drugim kroku udowodniliśmy, że kąt między tymi bokami ma identyczną miarę. Z powyższych rozważań możemy wywnioskować, że trójkąty MCN oraz MBD są przystające zgodnie z zasadą bok-kąt-bok. To kończy nasz dowód, bo skoro trójkąty MCN oraz MBD są przystające to |BM|=|MN|.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.