Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A = (2, 1) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: (x-1)²+(y-1)²=1 lub (x-5)²+(y-5)²=25
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Wnioski jakie płyną z tego rysunku są następujące:
- na pewno ten okrąg (a w zasadzie okręgi) będą leżeć w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych, bo nie ma innej możliwości skoro muszą przechodzić przez punkt A=(2;1).
- w każdym przypadku odległość od obu osi jest równa promieniowi okręgu. Skoro tak, to środek każdego z okręgów będzie przybierał postać typu S=(r;r).
Krok 2. Podstawienie współrzędnych punktu A=(2;1) do wzoru na równanie okręgu.
Wiemy z tablic matematycznych, że wzór na równanie okręgu ma postać:
(x-r)²+(y-r)²=r²
Podstawiając pod ten wzór współrzędne punktu A=(2;1) przez które okrąg przechodzi (czyli x=2, y=1) otrzymamy:
(2-r)²+(1-r)²=r² 4-4r+r²+1-2r+r²=r² 2r²-6r+5=r² r²-6r+5=0
Krok 3. Obliczenie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=1, b=-6, c=5
Δ=b²-4ac=(-6)²-4 · 1 · 5=36-20=16 √(Δ)=√(16)=4
r₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-6)-4)/(2 · 1)=(6-4)/2=2/2=1 r₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-6)+4)/(2 · 1)=(6+4)/2=10/2=5
Krok 4. Zapisanie równań okręgów przechodzących przez wskazany punkt.
Otrzymaliśmy dwie możliwości r=1 r=5. Obydwie możliwości są poprawne, żadnej nie odrzucamy (moglibyśmy odrzucić gdyby np. jedna z wartości była ujemna). To oznacza, że otrzymamy dwa równania okręgów:
Okrąg mniejszy: (x-1)²+(y-1)²=1², czyli (x-1)²+(y-1)²=1
Okrąg większy: (x-5)²+(y-5)²=5², czyli (x-5)²+(y-5)²=25
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.