Punkty A = (-6, 5), B = (5, 7), C = (10, -3) są wierzchołkami równoległoboku ABCD. Długość przekątnej BD tego równoległoboku jest równa
Odpowiedzi do wyboru
- A.3√(5)
- B.4√(5)
- C.6√(5)
- D.8√(5)
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Teoretycznie moglibyśmy próbować po kratkach określić współrzędne punktu D, tak aby potem obliczyć długość przekątnej BD, ale jest spora rozpiętość między punktami, więc łatwo tutaj o pomyłkę. Zróbmy więc to zadanie w sposób bardziej uniwersalny, zaczynając od prostego szkicu całej sytuacji:
Krok 2. Obliczenie współrzędnych miejsca przecięcia się przekątnych równoległoboku.
Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości. Skoro tak, to znając współrzędne wierzchołków A oraz C, możemy obliczyć środek tego odcinka, czyli jednocześnie miejsce przecięcia się tych przekątnych. Wykorzystamy w tym celu wzór na środek odcinka w układzie współrzędnych:
S=((x_A+x_C)/2;(y_A+y_C)/2) S=((-6+10)/2;(5+(-3))/2) S=(4/2;2/2) S=(2;1)
Krok 3. Obliczenie długości odcinka BS (połowa przekątnej).
Odcinek BS to odcinek od wierzchołka równoległoboku do miejsca przecięcia się przekątnych. Korzystając ze wzoru na długość odcinka, możemy zapisać, że:
|BS|=√((x_S-x_B)²+(y_S-y_B)²) |BS|=√((2-5)²+(1-7)²) |BS|=√((-3)²+(-6)²) |BS|=√(9+36) |BS|=√(45) |BS|=3√(5)
Krok 4. Obliczenie długości przekątnej BD.
Skoro przekątne równoległoboku przecinają się w połowie swojej długości, to przekątna BD będzie dwa razy większa od odcinka BS, zatem:
|BD|=2 · 3√(5) |BD|=6√(5)
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.