Dany jest graniastosłup prosty ABCDEFGH, którego podstawą jest prostokąt ABCD. W tym graniastosłupie |BD| = 15, a ponadto |CD| = 3 + |BC| oraz |∢CDG| = 60° (zobacz rysunek). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: P=504√(3), V=1296√(3)
Krok 1. Obliczenie długości boków podstawy.
Spójrzmy na trójkąt BCD, w którym znamy długość przeciwprostokątnej. Jeśli długość boku BC oznaczymy jako x, to zgodnie z treścią zadania bok CD będzie mieć długość x+3.
Korzystając zatem z Twierdzenia Pitagorasa, możemy zapisać, że:
x²+(x+3)²=15² x²+x²+6x+9=225 2x²+6x=216 2x²+6x-216=0 x²+3x-108=0
Tak na marginesie, nie ma konieczności dzielenia całego równania przez 2 (tak jak ja to zrobiono na samym końcu), ale dzięki temu później będziemy mieć mniejsze liczby.
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
W trakcie obliczeń otrzymaliśmy równanie kwadratowe w postaci ogólnej, więc rozwiążemy je przy pomocy delty:
Współczynniki: a=1, b=3, c=-108
Δ=b²-4ac=3²-4 · 1 · (-108)=9-(-432)=441 √(Δ)=√(441)=21
x₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-3-21)/(2 · 1)=-24/2=-12 x₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-3+21)/(2 · 1)=18/2=9
Krok 3. Obliczenie długości BC oraz CD.
Wyszło nam, że rozwiązaniem równania jest x=-12 oraz x=9, ale oczywiście ujemny wynik musimy odrzucić, ponieważ długość boku musi być dodatnia. Stąd też zostaje nam x=9, czyli tym samym (zgodnie z oznaczeniami) |BC|=9 oraz |CD|=9+3=12.
Krok 4. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Spójrzmy na trójkąt DCG. Jest to trójkąt prostokątny, w którym znamy długość dolnej przyprostokątnej |CD|=9+3=12 i znamy miarę kąta ostrego |∢CDG|=60°. Chcąc obliczyć wysokość graniastosłupa (czyli bok CG) możemy więc wykorzystać funkcje trygonometryczne, a konkretnie tangensa:
tg60°=H/12 √(3)=H/12 H=12√(3)
Krok 5. Obliczenie pola powierzchni bocznej.
Mamy już wszystkie miary krawędzi graniastosłupa. Pole powierzchni bocznej stanowią dwa prostokąty o wymiarach 9 × 12√(3) i dwa prostokąty o wymiarach 12 × 12√(3), zatem:
P_b=2 · 9 · 12√(3)+2 · 12 · 12√(3) P_b=216√(3)+288√(3) P_b=504√(3)
Krok 6. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Celem zadania jest także obliczenie objętości, zatem:
V=9 · 12 · 12√(3) V=1296√(3)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.