Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a różnej od 0 i każdej liczby rzeczywistej b różnej od 0 spełniona jest nierówność 2a²-4ab+5b² > 0
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEAby móc wykonać to zadanie, musimy w pewien sprytny sposób przekształcić podaną nierówność, tak aby móc później zwinąć całość lub część zapisu przy użyciu wzorów skróconego mnożenia. Przykładowo, moglibyśmy rozbić 2a² na a²+a² oraz 5b² na 4b²+b², co sprawi, iż otrzymamy następującą sytuację:
2a²-4ab+5b² > 0 a²+a²-4ab+4b²+b² > 0 a²-4ab+4b²+a²+b² > 0 (a-2b)²+a²+b² > 0
Każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu daje wynik nieujemny (czyli dodatni lub równy zero). Wartość (a-2b)² jest więc na pewno nieujemna. Zostaje nam jeszcze a², który jest na pewno dodatni (bo a jest różne od zera) i b², który jest także dodatni (bo b jest także różne od zera). To oznacza, że lewa strona jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.
Ewentualnie moglibyśmy dokonać jeszcze takiego rozbicia:
2a²-4ab+5b² > 0 2(a²-2ab+b²)+3b² > 0 2(a-b)²+3b² > 0
I tu uzasadnienie jest bardzo podobne - wartość 2(a-b)² jest na pewno nieujemna, a 3b² jest na pewno dodatnie, więc lewa strona nierówności jest większa od zera.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.