Dany jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 24. Punkt E leży na boku AB, a punkt F - na boku BC tego trójkąta. Odcinek EF jest równoległy do boku AC i przechodzi przez środek S wysokości CD trójkąta ABC (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka EF.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: |EF|=18
Krok 1. Obliczenie wysokości trójkąta ABC.
Trójkąt ABC jest równoboczny o boku długości a=24. Korzystając ze wzoru na wysokość takiego trójkąta, wyjdzie nam, że:
h=a√(3)/2 h=24√(3)/2 h=12√(3)
Tym samym możemy zapisać, że |CD|=12√(3).
Krok 2. Obliczenie długości odcinka DS oraz AD.
Środek wysokości S dzieli wysokość CD na dwie równe części, zatem długość odcinka DS będzie równa:
|DS|=12√(3):2 |DS|=6√(3)
Dodatkowo możemy od razu policzyć długość odcinka AD. W trójkątach równobocznych wysokość dzieli podstawę na dwie równe części, zatem:
|AD|=24:2 |AD|=12
Krok 3. Dostrzeżenie podobieństwa trójkątów i ułożenie odpowiedniego równania.
Skoro odcinek EF jest równoległy do boku AC, to trójkąty ADC oraz EDS są trójkątami podobnymi. Możemy więc zapisać, że:
|CD|/|AD|=|DS|/|ED| 12√(3)/12=6√(3)/|ED|
Mnożąc na krzyż, otrzymamy:
12√(3) · |ED|=12 · 6√(3) |ED|=6
Ewentualnie można do tematu podejść jeszcze inaczej, korzystając ze skali podobieństwa. Spójrzmy na trójkąty prostokątne ADC oraz EDS. Są to trójkąty podobne w skali podobieństwa k=1/2 (bo wysokość SD jest dwa razy mniejsza od wysokości CD). Skoro tak, to dolna przyprostokątna ED jest dwa razy krótsza od przyprostokątnej AD, więc:
|ED|=k · |AD| |ED|=1/2 · 12=6
Krok 4. Obliczenie długości odcinka EF.
Spójrzmy na trójkąt EBF. Jest on trójkątem podobnym do trójkąta ABC, a więc też jest on równoboczny. Z dotychczasowych obliczeń wynika, że |ED|=6 oraz |DB|=12, a więc |EB|=6+12=18. To oznacza, że długość wszystkich boków tego trójkąta ma długość 18, czyli tym samym |EF|=18.
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.