Liczby 64, x, 4 są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: a₅=1/4
Krok 1. Obliczenie wartości drugiego wyrazu ciągu geometrycznego.
Skorzystamy tutaj z jednej z najważniejszych własności ciągu geometrycznego, która mówi nam o tym, że między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego (niekoniecznie muszą to być trzy pierwsze wyrazy) zachodzi zależność a_n²=a_(n-1) · a_(n+1) (dla n ≥ 2). Wykorzystując ten wzór obliczymy sobie wartość, która kryje się pod x:
a_n²=a_(n-1) · a_(n+1) a₂²=a₁ · a₃ x²=64 · 4 x²=256 x=16 x=-16
Wartość -16 możemy odrzucić, bo zgodnie z informacją w treści zadania nasz ciąg jest malejący, a więc ciąg nie może wyglądać w ten sposób: 64; -16; 4.
Krok 2. Obliczenie wartości q.
Wartość q obliczymy dzieląc przez siebie dwa kolejne wyrazy ciągu, np. wyraz drugi przez pierwszy, albo trzeci przez drugi:
q=a₂/a₁=16/64=1/4
Krok 3. Obliczenie wartości piątego wyrazu ciągu geometrycznego.
Znając q bez problemu obliczymy już dowolny wyraz naszego ciągu geometrycznego ze wzoru: a_n=a₁ · q^(n-1) (dla n ≥ 2). Stąd też:
a_n=a₁ · q^(n-1) a₅=a₁ · (1/4)^(5-1) a₅=64 · (1/4)⁴ a₅=64 · 1/256 a₅=1/4
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.