Podstawą ostrosłupa ABCDS jest romb ABCD o boku długości 4. Kąt ABC rombu ma miarę 120° oraz |AS|=|CS|=10 i |BS|=|DS|. Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: sin α=√(22/23)
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Stwórzmy sobie szkic rysunku na którym zaznaczymy wszystkie informacje z treści zadania.
Krok 2. Obliczenie długości odcinków CO oraz BO.
Wbrew pozorom nie będą to odcinki równej długości, bo przecież przekątne rombu mają różne długości.
Przekątne rombu dzielą kąty przy wierzchołkach na dwie równe części. To oznacza, że kąty CBD oraz CDB mają po 60°. To z kolei powoduje, że trójkąt BCD jest trójkątem równobocznym o boku długości 4. Analogicznie będzie z trójkątem ABD. Wszystko wyjaśni poniższy rysunek z zaznaczonymi kątami i z niebieskimi liniami, które mówią nam o tym które tworzą dwa trójkąty równoboczne:
To dla nas bardzo ważna informacja, bo teraz bez przeszkód obliczymy długość odcinka CO, który jest wysokością trójkąta równobocznego BCD o boku a=4.
|CO|=a√(3)/2=4√(3)/2=2√(3)
Skoro ustaliliśmy sobie, że trójkąt BCD jest równoboczny, to znaczy że przekątna BD ma także długość 4. Przekątne w rombie przecinają się w połowie swojej długości, a to pozwoli nam na obliczenie długości boku BO:
|BO|=4:2=2
Krok 3. Obliczenie długości odcinka SO, czyli wysokości ostrosłupa.
W poprzednim kroku obliczyliśmy długość odcinka |CO|=2√(3). Z treści zadania znamy też długość krawędzi |SC|=10. To oznacza, że bez przeszkód obliczymy wysokość SO naszego ostrosłupa korzystając z Twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOC:
a²+b²=c² |SO|²+|CO|²=|SC|² |SO|²+(2√(3))²=10² |SO|²+4 · 3=100 |SO|²+12=100 |SO|²=88 |SO|=√(88) |SO|=-√(88)
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo bok musi mieć dodatnią długość i jest ona równa |SO|=√(88)=2√(22).
Krok 4. Obliczenie długości odcinka BS (czyli naszej krawędzi bocznej).
Tu ponownie skorzystamy sobie z Twierdzenia Pitagorasa, tym razem wobec trójkąta BOS. Znamy wysokości obu przyprostokątnych |BO|=2 (wyliczyliśmy to w drugim kroku) oraz |SO|=2√(22) (wyliczyliśmy to w trzecim kroku), więc bez przeszkód wyznaczymy długość krawędzi BS:
a²+b²=c² |BO|²+|SO|²=|BS|² 2²+(2√(22))²=|BS|² 4+4 · 22=|BS|² |BS|²=92 |BS|=√(92) |BS|=-√(92)
Wartość ujemną także oczywiście odrzucamy, więc zostaje nam |BS|=√(92)=2√(23).
Krok 5. Obliczenie wartości sinusa.
Znamy już wszystkie potrzebne miary, więc na koniec musimy obliczyć jeszcze sinus kąta nachylenia krawędzi BS do płaszczyzny podstawy ostrosłupa:
sinα=|SO|/|BS|=2√(22)/(2√(23))=√(22)/√(23)=√(22/23)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.