Z miast A i B odległych o 330 km wyjechały naprzeciwko siebie dwa samochody. Samochód jadący z miasta A wyjechał 20 minut wcześniej i jechał z prędkością o 9 km/h mniejszą niż samochód jadący z miasta B. Samochody te minęły się w odległości 168 km licząc od miasta A. Oblicz średnią prędkość każdego z samochodów.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: v₁=72 km/h, v₂=81 km/h
Oznaczymy prędkości samochodów: - v₁ - prędkość samochodu z miasta A - v₂ - prędkość samochodu z miasta B
Z treści zadania wiemy, że: v₁ = v₂ - 9
Analiza dróg i czasów:
Samochód z miasta A przejechał 168 km do miejsca spotkania.
Samochód z miasta B przejechał: 330 - 168 = 162 km
Czas jazdy:
Samochód z A jechał przez czas t₁: t₁ = 168/v₁
Samochód z B jechał przez czas t₂: t₂ = 162/v₂
Warunek czasowy:
Samochód z A wyjechał 20 minut = 20/60 = 1/3 godziny wcześniej, więc: t₁ = t₂ + 1/3
Podstawiamy: 168/v₁ = 162/v₂ + 1/3
Korzystając z v₁ = v₂ - 9: 168/(v₂ - 9) = 162/v₂ + 1/3
Mnożymy obie strony przez 3v₂(v₂ - 9): 3v₂ · 168 = 3(v₂ - 9) · 162 + v₂(v₂ - 9)
504v₂ = 486(v₂ - 9) + v₂(v₂ - 9)
504v₂ = 486v₂ - 4374 + v₂² - 9v₂
504v₂ = 477v₂ - 4374 + v₂²
0 = v₂² - 27v₂ - 4374
Rozwiązujemy równanie kwadratowe: v₂² - 27v₂ - 4374 = 0
Δ= 27² - 4 · 1 · (-4374) = 729 + 17496 = 18225 = 135²
v₂ = (27 ± 135)/2
v₂ = 162/2 = 81 lub v₂ = -108/2 = -54
Odrzucamy rozwiązanie ujemne: v₂ = 81 km/h
Stąd: v₁ = v₂ - 9 = 81 - 9 = 72 km/h
Sprawdzenie: - Czas jazdy samochodu z A: t₁ = 168/72 = 7/3 h - Czas jazdy samochodu z B: t₂ = 162/81 = 2 h - Różnica: 7/3 - 2 = 1/3 h = 20 minut ✓
Odpowiedź: v₁ = 72 km/h, v₂ = 81 km/h
Statystyka: Średnia, mediana, dominanta i odchylenie standardowe oraz odczytywanie danych z tabel, diagramów i wykresów.