W trójkącie równoramiennym ABC o podstawie AB poprowadzono wysokość z wierzchołka C. Wyznacz równanie prostej zawierającej tę wysokość, jeśli A = (2, 8), B = (-2, 4).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: y=-x+6
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-30.png]
Trójkąt równoramienny ma podstawę AB, więc ramiona CA i CB są równej długości. Wysokość z wierzchołka C na podstawę AB przechodzi przez środek AB (bo w trójkącie równoramiennym wysokość z wierzchołka między ramionami jest jednocześnie środkową).
Krok 2: Wyznacza się środek odcinka AB
Środek S odcinka AB: S = ((2+(-2))/2, (8+4)/2) = (0, 6)
Krok 3: Wyznacza się wektor kierunkowy prostej AB
AB = B - A = (-2-2, 4-8) = (-4, -4)
Możemy uprościć: wektor kierunkowy prostej AB to (1, 1) (podzielone przez -4).
Krok 4: Wyznacza się wektor normalny do prostej AB
Jeśli prosta ma wektor kierunkowy (a, b), to wektor prostopadły to (-b, a) lub (b, -a).
Dla wektora kierunkowego (1, 1), wektor prostopadły to (-1, 1) lub (1, -1).
Krok 5: Wyznacza się równanie wysokości
Wysokość przechodzi przez punkt S = (0, 6) i ma wektor kierunkowy prostopadły do AB, czyli np. (1, -1).
Równanie prostej w postaci kierunkowej: (x - 0)/1 = (y - 6)/-1
x = (y - 6)/-1
x = -y + 6
y = -x + 6
Sprawdzenie: - Prosta przechodzi przez S = (0, 6): 6 = -0 + 6 ✓ - Współczynnik kierunkowy wysokości: -1 - Współczynnik kierunkowy AB: (4-8)/(-2-2) = -4/-4 = 1 - Iloczyn: (-1) · 1 = -1 ✓ (proste prostopadłe)
Odpowiedź: y = -x + 6
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.