Rozwiąż nierówność: -x²+2x+8 ≥ 0.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: x ∈ ⟨-2,4⟩
Rozwiązujemy nierówność -x² + 2x + 8 ≥ 0
Krok 1: Znajdźmy miejsca zerowe funkcji f(x) = -x² + 2x + 8
Rozwiązujemy równanie: -x² + 2x + 8 = 0
Mnożymy obie strony przez -1: x² - 2x - 8 = 0
Obliczamy deltę: Δ= (-2)² - 4 · 1 · (-8) = 4 + 32 = 36
Miejsca zerowe: x₁ = (2 - √(36))/2 = (2 - 6)/2 = -4/2 = -2
x₂ = (2 + √(36))/2 = (2 + 6)/2 = 8/2 = 4
Krok 2: Analiza znaku funkcji
Funkcja f(x) = -x² + 2x + 8 jest funkcją kwadratową z ujemnym współczynnikiem przy x² (bo a = -1 < 0), więc jej ramiona są skierowane w dół.
Parabola przyjmuje wartości: - dodatnie między pierwiastkami: dla x ∈ (-2, 4) - zerowe w miejscach zerowych: dla x = -2 oraz x = 4 - ujemne poza przedziałem wyznaczonym przez pierwiastki: dla x ∈ (-∞, -2) ∪ (4, +∞)
Krok 3: Odczytanie rozwiązania nierówności
Szukamy wartości x, dla których f(x) ≥ 0, czyli wartości nieujemnych.
Z analizy wynika, że funkcja jest nieujemna dla x ∈ [-2, 4].
Odpowiedź: x ∈ ⟨-2, 4⟩
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.