Wykaż, że liczby a=-5/(2√(2)+3) oraz b=|10√(2)-15| są liczbami przeciwnymi.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEAby wykazać, że liczby są przeciwne, trzeba pokazać, że a + b = 0 lub równoważnie b = -a.
## Krok 1: Przekształcenie liczby a
Usuwam niewymierność z mianownika, mnożąc licznik i mianownik przez wyrażenie sprzężone 2√(2) - 3:
a = -5/(2√(2)+3) · (2√(2)-3)/(2√(2)-3)
Licznik: -5(2√(2)-3) = -10√(2) + 15
Mianownik (wzór skróconego mnożenia (a+b)(a-b) = a² - b²): (2√(2))² - 3² = 8 - 9 = -1
Zatem: a = (-10√(2) + 15)/-1 = 10√(2) - 15
## Krok 2: Przekształcenie liczby b
Upraszcza się wartość bezwzględną. Trzeba sprawdzić znak wyrażenia 10√(2) - 15.
Porównuje się 10√(2) z 15: 10√(2) ?< 15 √(2) ?< 1,5
Podnosi się obie strony do kwadratu (obie są dodatnie): 2 < 2,25
To prawda, więc 10√(2) < 15, czyli 10√(2) - 15 < 0.
Zatem: b = |10√(2) - 15| = -(10√(2) - 15) = -10√(2) + 15 = 15 - 10√(2)
## Krok 3: Sprawdzenie warunku
Mamy: - a = 10√(2) - 15 - b = 15 - 10√(2)
Oblicza się sumę: a + b = (10√(2) - 15) + (15 - 10√(2)) = 10√(2) - 10√(2) - 15 + 15 = 0
Ponieważ a + b = 0, liczby a i b są liczbami przeciwnymi. ∎
Potęgi i pierwiastki: Prawa działań na potęgach o wykładniku całkowitym i wymiernym, usuwanie niewymierności z mianownika i porównywanie wyrażeń pierwiastkowych.