Metalowy stożek, którego tworząca o długości 10 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° , przetopiono na sześć jednakowych kulek. Oblicz promień kulki.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: r=5/2
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-34.png]
Dane zadania: - długość tworzącej stożka: l = 10 - kąt nachylenia tworzącej do podstawy: α= 30° - stożek przetopiono na 6 jednakowych kulek
Szukamy promienia jednej kulki.
Krok 2: Wyznaczenie wymiarów stożka
Rozpatruje się przekrój osiowy stożka. Tworząca l, wysokość H i promień podstawy R tworzą trójkąt prostokątny.
Z trójkąta prostokątnego:
sin 30° = H/l
H = l · sin 30° = 10 · 1/2 = 5
cos 30° = R/l
R = l · cos 30° = 10 · √(3)/2 = 5√(3)
Krok 3: Obliczenie objętości stożka
Wzór na objętość stożka:
V_(stożka) = 1/3πR² H
V_(stożka) = 1/3π · (5√(3))² · 5
V_(stożka) = 1/3π · 75 · 5 = 375π/3 = 125π
Krok 4: Obliczenie objętości jednej kulki
Ponieważ metal został przetopiony, objętość się zachowuje:
V_(stożka) = 6 · V_(kulki)
V_(kulki) = 125π/6
Krok 5: Wyznaczenie promienia kulki
Wzór na objętość kuli:
V_(kulki) = 4/3πr³
Przyrównuje się:
4/3πr³ = 125π/6
4/3 r³ = 125/6
r³ = 125/6 · 3/4 = 375/24 = 125/8
r = (3)√(125/8) = (3)√(125)/(3)√(8) = 5/2
Odpowiedź: Promień kulki wynosi r = 5/2
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.