Oblicz pole i obwód rombu ABCD wiedząc, że przekątna AC jest zawarta w prostej o równaniu y=2x-2 oraz A=(-1,-4) i D=(-6,6).
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: O = 20√(5) , P=120
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-33.png]
Sprawdza się, czy punkt A=(-1,-4) leży na prostej y=2x-2: y = 2 · (-1) - 2 = -2 - 2 = -4
Krok 2: Wyznacza się punkt C
Skoro przekątna AC leży na prostej y=2x-2, to punkt C również leży na tej prostej. Oznaczmy C=(c, 2c-2).
W rombie przekątne przecinają się w połowie, więc środek S przekątnej AC jest jednocześnie środkiem przekątnej BD.
Środek AC: S = ((-1+c)/2, (-4+2c-2)/2) = ((c-1)/2, (2c-6)/2) = ((c-1)/2, c-3)
Krok 3: Wykorzystuje się własność rombu
W rombie przekątne są prostopadłe. Wyznacza się wektor AC: AC = (c-(-1), 2c-2-(-4)) = (c+1, 2c+2)
Wektor prostopadły do AC ma postać (-2c-2, c+1) lub współliniowy.
Wektor DS (od D do środka S): DS = ((c-1)/2-(-6), c-3-6) = ((c+11)/2, c-9)
Warunek prostopadłości AC ⊥ DS: (c+1) · (c+11)/2 + (2c+2)(c-9) = 0
(c+1)(c+11)/2 + (2c+2)(c-9) = 0
(c²+12c+11)/2 + 2c²-18c+2c-18 = 0
(c²+12c+11)/2 + 2c²-16c-18 = 0
Mnoży się przez 2: c²+12c+11 + 4c²-32c-36 = 0
5c²-20c-25 = 0
c²-4c-5 = 0
(c-5)(c+1) = 0
Stąd c=5 lub c=-1. Ponieważ c=-1 daje punkt A, więc c=5.
Zatem C=(5, 8).
Krok 4: Wyznacza się punkt B
Środek przekątnych: S = ((-1+5)/2, (-4+8)/2) = (2, 2)
Punkt B jest symetryczny do D=(-6,6) względem S: B = (2 · 2 - (-6), 2 · 2 - 6) = (10, -2)
Krok 5: Oblicza się długości przekątnych
|AC| = √((5-(-1))² + (8-(-4))²) = √(36 + 144) = √(180) = 6√(5)
|BD| = √((10-(-6))² + (-2-6)²) = √(256 + 64) = √(320) = 8√(5)
Krok 6: Oblicza się bok rombu
Bok rombu (np. |AB|): |AB| = √((10-(-1))² + (-2-(-4))²) = √(121 + 4) = √(125) = 5√(5)
Krok 7: Oblicza się obwód i pole
Obwód: O = 4 · 5√(5) = 20√(5)
Pole (wzór na pole rombu przez przekątne): P = 1/2 · |AC| · |BD| = 1/2 · 6√(5) · 8√(5) = 1/2 · 48 · 5 = 120
Odpowiedź: O = 20√(5), P = 120
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.