W trapezie miary kątów ostrych są równe 30° i 60° . Wówczas stosunek długości krótszego ramienia do dłuższego jest równy:
Odpowiedzi do wyboru
- A.√(3)/3
- B.1/3
- C.√(2)/2
- D.1/2
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-24.png]
Rozważam trapez o kątach ostrych 30° i 60°.
Krok 2: Ustawienie trapezu
W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są równe, więc kąty ostre 30° i 60° muszą leżeć przy różnych podstawach. Rozpatruje się trapez ABCD, gdzie: - AB – podstawa dolna (dłuższa) - CD – podstawa górna (krótsza) - kąt przy A wynosi 60° - kąt przy B wynosi 30°
Krok 3: Wysokości z wierzchołków górnych
Opuszczam wysokości z punktów C i D na podstawę AB. Niech: - wysokość trapezu = h - ramię AD = a - ramię BC = b
Krok 4: Analiza trójkąta przy wierzchołku A
W trójkącie prostokątnym powstałym po opuszczeniu wysokości z D: - kąt przy A = 60° - przeciwprostokątna = a - przyprostokątna (wysokość) = h
Z definicji sinusa: sin(60°) = h/a √(3)/2 = h/a h = a√(3)/2
Krok 5: Analiza trójkąta przy wierzchołku B
W trójkącie prostokątnym powstałym po opuszczeniu wysokości z C: - kąt przy B = 30° - przeciwprostokątna = b - przyprostokątna (wysokość) = h
Z definicji sinusa: sin(30°) = h/b 1/2 = h/b h = b/2
Krok 6: Wyznaczenie stosunku ramion
Przyrównuje się oba wyrażenia na wysokość h: a√(3)/2 = b/2 a√(3) = b a/b = 1/√(3)
Krok 7: Ustalenie, które ramię jest krótsze
Ponieważ b = a√(3) i √(3) > 1, to b > a.
Zatem ramię a jest krótsze, a ramię b jest dłuższe.
Stosunek krótszego ramienia do dłuższego: a/b = 1/√(3) = 1/√(3) · √(3)/√(3) = √(3)/3
Odpowiedź: A
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.