Na boku DC kwadratu ABCD obrano punkt K tak, że |DK| = |KC| (rys.). Przekątna AC kwadratu przecina odcinek BK w punkcie P. Uzasadnij, że pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrzyjmijmy układ współrzędnych z wierzchołkiem A w początku układu.
## Krok 1: Ustalenie współrzędnych
Niech kwadrat ABCD ma bok długości 2a. Wtedy: - A = (0, 0) - B = (2a, 0) - C = (2a, 2a) - D = (0, 2a)
Punkt K leży na boku DC i |DK| = |KC|, więc K jest środkiem DC: K = (a, 2a)
## Krok 2: Równania prostych
Prosta AC (przekątna kwadratu): - Przechodzi przez A(0,0) i C(2a, 2a) - Równanie: y = x
Prosta BK: - Przechodzi przez B(2a, 0) i K(a, 2a) - Współczynnik kierunkowy: m = (2a - 0)/(a - 2a) = 2a/-a = -2 - Równanie: y - 0 = -2(x - 2a), czyli y = -2x + 4a
## Krok 3: Znalezienie punktu przecięcia P
Punkt P spełnia oba równania: x = -2x + 4a 3x = 4a x = 4a/3
Zatem: P = (4a/3, 4a/3)
## Krok 4: Obliczenie pola trójkąta ABP
Podstawa: |AB| = 2a
Wysokość: odległość punktu P od osi Ox (na której leży AB): h₁ = 4a/3
Pole: S_(ABP) = 1/2 · 2a · 4a/3 = 4a²/3
## Krok 5: Obliczenie pola trójkąta KCP
Użyjemy wzoru z wyznacznika dla wierzchołków K(a, 2a), C(2a, 2a), P(4a/3, 4a/3):
S_(KCP) = 1/2|x_K(y_C - y_P) + x_C(y_P - y_K) + x_P(y_K - y_C)|
= 1/2|a(2a - 4a/3) + 2a(4a/3 - 2a) + 4a/3(2a - 2a)|
= 1/2|a · 2a/3 + 2a · (-2a/3) + 0|
= 1/2|2a²/3 - 4a²/3| = 1/2 · 2a²/3 = a²/3
## Krok 6: Porównanie pól
S_(ABP)/S_(KCP) = 4a²/3/(a²/3) = 4
Wniosek: Pole trójkąta ABP jest czterokrotnie większe niż pole trójkąta KCP.
Geometria analityczna: Punkty i wektory w układzie współrzędnych, odległość, środek odcinka, równanie prostej i okręgu oraz wzajemne położenie figur.