Ciągiem arytmetycznym jest ciąg o wyrazie ogólnym a_n równym:
Odpowiedzi do wyboru
- A.a_n=3 · 2^n
- B.a_n=(4n²-9)/(3+2n)
- C.a_n=(2n+3)/(n+2)
- D.a_n=(n²+1)/3
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: B
Sprawdza się kolejno każdą opcję, pamiętając, że ciąg arytmetyczny ma stałą różnicę r = a_(n+1) - a_n.
## Opcja A: a_n = 3 · 2^n
Oblicza się kilka wyrazów: - a₁ = 3 · 2¹ = 6 - a₂ = 3 · 2² = 12 - a₃ = 3 · 2³ = 24
Różnice: a₂ - a₁ = 6, a₃ - a₂ = 12
Różnice nie są stałe, więc to nie jest ciąg arytmetyczny.
## Opcja B: a_n = (4n²-9)/(3+2n)
Najpierw upraszcza się wyrażenie, rozkładając licznik na czynniki:
4n² - 9 = (2n)² - 3² = (2n-3)(2n+3)
Zatem: a_n = (2n-3)(2n+3)/(2n+3) = 2n - 3
dla n ≥ 1 (warunek 2n+3 ≠ 0 jest spełniony).
Sprawdza się różnicę: a_(n+1) - a_n = [2(n+1)-3] - [2n-3] = 2n+2-3-2n+3 = 2
Różnica jest stała i wynosi r = 2, więc to jest ciąg arytmetyczny.
## Opcja C: a_n = (2n+3)/(n+2)
Oblicza się kilka wyrazów: - a₁ = 5/3 - a₂ = 7/4 - a₃ = 9/5
Różnice: a₂ - a₁ = 7/4 - 5/3 = (21-20)/12 = 1/12
a₃ - a₂ = 9/5 - 7/4 = (36-35)/20 = 1/20
Różnice nie są stałe, więc to nie jest ciąg arytmetyczny.
## Opcja D: a_n = (n²+1)/3
Oblicza się różnicę: a_(n+1) - a_n = ((n+1)²+1)/3 - (n²+1)/3 = ((n+1)² - n²)/3 = (2n+1)/3
Różnica zależy od n, więc nie jest ciąg arytmetyczny.
Odpowiedź: B
Ciągi: Ciąg arytmetyczny i geometryczny, wzór ogólny i rekurencyjny, suma początkowych wyrazów oraz zadania o procencie składanym.