Największa wartość funkcji y=-2x²+x+1 w przedziale ⟨-1; 0,5⟩ jest równa:
Odpowiedzi do wyboru
- A.1 1/8
- B.1
- C.1/4
- D.-4
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: A
Szukamy największej wartości funkcji y = -2x² + x + 1 w przedziale ⟨-1; 0,5⟩.
Krok 1: Analiza funkcji
Funkcja jest kwadratowa z a = -2 < 0, więc ramiona paraboli skierowane są w dół. Funkcja ma maksimum w wierzchołku.
Krok 2: Znajdowanie wierzchołka
Współrzędna x wierzchołka: x_w = -b/(2a) = -1/(2 · (-2)) = -1/-4 = 1/4
Krok 3: Sprawdzenie, czy wierzchołek leży w przedziale
Czy 1/4 ∈ ⟨-1; 0,5⟩?
Tak, bo -1 ≤ 1/4 ≤ 0,5
Zatem maksimum funkcji w tym przedziale osiągane jest w wierzchołku.
Krok 4: Obliczenie wartości w wierzchołku
y_w = -2 · (1/4)² + 1/4 + 1
y_w = -2 · 1/16 + 1/4 + 1
y_w = -2/16 + 1/4 + 1
y_w = -1/8 + 2/8 + 8/8
y_w = (-1 + 2 + 8)/8 = 9/8
Krok 5: Zamiana na liczbę mieszaną
9/8 = 1 1/8
Weryfikacja: Możemy jeszcze sprawdzić wartości na końcach przedziału: - dla x = -1: y = -2(-1)² + (-1) + 1 = -2 - 1 + 1 = -2 - dla x = 0,5: y = -2(0,5)² + 0,5 + 1 = -0,5 + 0,5 + 1 = 1
Rzeczywiście 1 1/8 > 1 > -2, więc maksimum to 1 1/8.
Odpowiedź: A
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.