Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości 3 i 9. Sinus najmniejszego kąta tego trójkąta jest równy:
Odpowiedzi do wyboru
- A.3√(10)/10
- B.1/3
- C.√(10)/10
- D.√(10)/30
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: C
Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.
[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/matura-pr-bna-luty-2013-05.png]
Dane: przyprostokątne mają długości a = 3 i b = 9.
Krok 2: Oblicza się długość przeciwprostokątnej
Z twierdzenia Pitagorasa: c = √(a² + b²) = √(3² + 9²) = √(9 + 81) = √(90)
Upraszcza się: c = √(90) = √(9 · 10) = 3√(10)
Krok 3: Identyfikuję najmniejszy kąt
W trójkącie prostokątnym: - kąt prosty = 90° (największy) - dwa kąty ostre
Najmniejszy kąt ostry leży naprzeciw najkrótszego boku.
Najkrótszy bok to a = 3, więc najmniejszy kąt (oznaczmy go α) leży naprzeciw tego boku.
Krok 4: Oblicza się sinus najmniejszego kąta
Sinus kąta w trójkącie prostokątnym to stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta do przeciwprostokątnej:
sin α= przyprostokątna naprzeciw/przeciwprostokątna = 3/(3√(10))
Krok 5: Upraszcza się wyrażenie
sin α= 3/(3√(10)) = 1/√(10)
Wymierniamy mianownik: sin α= 1/√(10) · √(10)/√(10) = √(10)/10
Odpowiedź: C
Trygonometria: Funkcje trygonometryczne kąta ostrego, tożsamości, wartości dla kątów 30, 45 i 60 stopni oraz zastosowania w trójkącie prostokątnym.