Zadania CKE z równań i nierówności z rozwiązaniami - baza maturalna wg działu

Równania i nierówności to dział, który na maturze z matematyki wraca co roku jak bumerang. W naszej bazie mamy ich ponad 260 - od jednolinijkowych zadań zamkniętych za 1 punkt po pełne zadania otwarte z dziedziną i sprawdzeniem. Ten tekst to hub: zbieram tu typy zadań CKE z tego działu, pokazuję rozwiązania krok po kroku na prawdziwych arkuszach i kieruję cię prosto do zadań, na których możesz ćwiczyć. Wszystkie zadania, do których linkuję, pochodzą z arkuszy CKE i mają pełne rozwiązania.

Jeśli wolisz najpierw uporządkować teorię, zacznij od przewodnika równania i nierówności na maturze - metody rozwiązywania, a potem wróć tutaj po zadania.

Co dokładnie obejmuje ten dział na maturze

Pod hasłem "równania i nierówności" CKE testuje kilka odrębnych umiejętności. Warto je rozdzielić, bo każda ma inną metodę:

• •Równania i nierówności liniowe - podstawa, ale uważaj na zmianę znaku przy dzieleniu przez liczbę ujemną.
• •Równania i nierówności kwadratowe - delta, miejsca zerowe, znak paraboli.
• •Równania i nierówności z wartością bezwzględną - rozbicie na przypadki albo interpretacja na osi.
• •Równania wymierne - najpierw dziedzina, dopiero potem rozwiązanie.
• •Równania wyższych stopni - rozkład na czynniki albo podstawienie.

Każdy z tych podtematów ma osobny przewodnik: nierówności na maturze - liniowe i kwadratowe, nierówności kwadratowe metodą graficzną, wartość bezwzględna - równania i nierówności oraz równanie wymierne - dziedzina i zadania. Poniżej rozwiązuję po jednym reprezentatywnym zadaniu z każdego typu, na realnych arkuszach CKE.

Nierówność kwadratowa - zadanie CKE 2025

Zacznijmy od klasyka, który pojawił się na maturze 2025. Rozwiąż nierówność:

$(3x-4)(x-1) \lt x$

Najpierw wymnażamy lewą stronę i przenosimy wszystko na jedną stronę:

$3x^2 - 7x + 4 \lt x$
$3x^2 - 8x + 4 \lt 0$

Liczymy deltę dla trójmianu $3x^2 - 8x + 4$:

$\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$

Miejsca zerowe:

$x_1 = \frac{8-4}{6} = \frac{2}{3}, \qquad x_2 = \frac{8+4}{6} = 2$

Parabola jest skierowana ramionami w górę, a my chcemy "mniejsze od zera", czyli fragment pod osią - między pierwiastkami. Odpowiedź:

$x \in \left(\frac{2}{3},\, 2\right)$

Całe zadanie z rozwiązaniem masz tutaj: zadanie cke-2025-pp-19. To wzorcowy schemat każdej nierówności kwadratowej: do postaci $ax^2+bx+c$, delta, pierwiastki, znak ramion, przedział.

Równanie wymierne - zadanie CKE 2023

Teraz coś, gdzie najwięcej osób gubi punkty przez dziedzinę. Rozwiąż równanie:

$\frac{(4x+1)(x-5)}{(2x-10)(x+3)} = 0$

Kluczowa zasada: ułamek jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy licznik = 0, a mianownik różny od zera.

Najpierw dziedzina - mianownik nie może się zerować:

$2x - 10 \neq 0 \implies x \neq 5, \qquad x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3$

Teraz licznik:

$(4x+1)(x-5) = 0 \implies x = -\frac{1}{4} \ \lor \ x = 5$

I tu jest pułapka: $x = 5$ odpada, bo wypada z dziedziny. Zostaje:

$x = -\frac{1}{4}$

Pełne rozwiązanie: zadanie cke-2023-pp-07. Gdybyś zapomniał o dziedzinie i wpisał oba pierwiastki, stracisz punkt - dlatego przy każdym równaniu wymiernym dziedzina jest krokiem pierwszym, nie ostatnim.

Równanie z podstawieniem - zadanie CKE 2023

Zadanie, które wygląda strasznie, dopóki nie zauważysz triku. Rozwiąż:

$(x-1)^4 - 5(x-1)^2 + 6 = 0$

Podstawiamy $t = (x-1)^2$, gdzie $t \ge 0$. Wtedy $(x-1)^4 = t^2$ i równanie robi się kwadratowe:

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Delta: $\Delta = 25 - 24 = 1$, więc $t = 2$ lub $t = 3$. Oba są dodatnie, więc wracamy do podstawienia:

$(x-1)^2 = 2 \implies x = 1 \pm \sqrt{2}$
$(x-1)^2 = 3 \implies x = 1 \pm \sqrt{3}$

Cztery rozwiązania: $x = 1-\sqrt{3},\ 1-\sqrt{2},\ 1+\sqrt{2},\ 1+\sqrt{3}$. Krok po kroku: zadanie cke-2023-pp-13. Zapamiętaj wzorzec: gdy widzisz to samo wyrażenie w potędze 4 i w potędze 2, prawie zawsze ratuje cię podstawienie.

Równanie wymierne z dziedziną - zadanie CKE 2025

Jeszcze jedno z najnowszego arkusza, tym razem z poleceniem "wyznacz dziedzinę i rozwiąż":

$\frac{2}{2x+1} = \frac{x-1}{x+2}$

Dziedzina - oba mianowniki różne od zera:

$2x + 1 \neq 0 \implies x \neq -\frac{1}{2}, \qquad x + 2 \neq 0 \implies x \neq -2$

Mnożymy na krzyż:

$2(x+2) = (x-1)(2x+1)$
$2x + 4 = 2x^2 - x - 1$
$2x^2 - 3x - 5 = 0$

Delta: $\Delta = 9 + 40 = 49$, $\sqrt{\Delta} = 7$, stąd:

$x = \frac{3-7}{4} = -1, \qquad x = \frac{3+7}{4} = \frac{5}{2}$

Oba mieszczą się w dziedzinie, więc oba są rozwiązaniami. Szczegóły: zadanie cke-2025-pp-18.

Nierówność z wartością bezwzględną - zadanie CKE 2023

Wartość bezwzględna odstrasza, a jest banalnie prosta, jak znasz definicję. Rozwiąż:

$|x - 3| \ge 5$

Nierówność z wartością bezwzględną typu $|wyrażenie| \ge a$ rozbijamy na dwa przypadki połączone słowem "lub":

$x - 3 \ge 5 \quad \lor \quad x - 3 \le -5$

Rozwiązujemy każdy osobno:

$x \ge 8 \quad \lor \quad x \le -2$

Zbiór rozwiązań to suma dwóch półprostych: $x \in (-\infty,\, -2\rangle \cup \langle 8,\, +\infty)$. Zwróć uwagę na regułę: przy $\ge$ rozwiązania są "na zewnątrz", przy $\le$ byłyby "w środku". Pełne rozwiązanie: zadanie cke-2023-pp-02. Najczęstszy błąd to napisanie tylko jednego przypadku - i od razu połowa zadania w plecy.

Nierówność liniowa z ułamkami - zadanie CKE 2025

Na koniec klasyk z ułamkami, gdzie wszystko rozbija się o wspólny mianownik. Rozwiąż:

$\frac{2x-1}{2} - \frac{x+2}{3} \ge \frac{1}{6}$

Wspólny mianownik dla 2, 3 i 6 to 6. Mnożymy obie strony przez 6 (liczba dodatnia, więc znak nierówności zostaje):

$3(2x-1) - 2(x+2) \ge 1$

Rozwijamy nawiasy i porządkujemy:

$6x - 3 - 2x - 4 \ge 1$
$4x - 7 \ge 1$
$4x \ge 8 \implies x \ge 2$

Odpowiedź: $x \in \langle 2,\, +\infty)$. Tu pułapka jest podwójna: pomylenie wspólnego mianownika albo - gdybyś mnożył przez liczbę ujemną - zapomnienie o odwróceniu znaku. Rozwiązanie: zadanie cke-2025-pp-17.

Tabela - typy zadań z tego działu i jak je rozpoznać

Zadania zamknięte i otwarte w tym dziale

W tym dziale CKE stawia oba typy zadań i warto wiedzieć, czego się spodziewać. Zadania zamknięte to zwykle pojedyncze nierówności albo równania, gdzie wybierasz odpowiedź albo zaznaczasz właściwy rysunek na osi liczbowej - jak w pokazanych wyżej przykładach z wartością bezwzględną i ułamkami. Liczy się tu szybkość i pewność rachunku, bo punkt dostajesz albo go nie ma, bez punktów częściowych.

Zadania otwarte są bardziej wymagające, bo musisz rozpisać całe rozumowanie: dziedzinę, przekształcenia, wynik i często sprawdzenie. To właśnie tu najwięcej osób gubi punkty - nie dlatego, że nie umieją policzyć, tylko dlatego, że nie pokazują metody albo pomijają dziedzinę. Jeśli chcesz wyrobić nawyk poprawnego zapisu, przeczytaj poradnik jak rozwiązywać zadania otwarte z matematyki, a potem ćwicz na zadaniach otwartych z tego działu.

Jak czytać zasady oceniania, żeby nie tracić punktów

Każde zadanie otwarte z arkusza CKE ma schemat oceniania, który mówi dokładnie, za co przyznaje się kolejne punkty. W równaniach i nierównościach typowy podział wygląda tak: jeden punkt za poprawną dziedzinę albo poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, kolejny za rozwiązanie, a ostatni za pełną, poprawną odpowiedź z uwzględnieniem dziedziny. To znaczy, że nawet jeśli pomylisz się w rachunku na końcu, za sam poprawny początek dostaniesz część punktów - pod warunkiem że go zapiszesz.

Wniosek praktyczny: zawsze rozpisuj rozwiązanie, nawet jeśli nie jesteś pewny wyniku. Pusta kartka to gwarantowane zero, a poprawna metoda z błędem rachunkowym to często połowa punktów. Jak punktowane są poszczególne zadania, rozkłada na czynniki tekst jak punktowane są zadania na maturze z matematyki.

Najczęstsze błędy w tym dziale

Z setek rozwiązań widać, że punkty najczęściej lecą przez te same rzeczy:

• •Brak dziedziny w równaniach wymiernych. Bez niej nawet poprawny rachunek może dać błędną odpowiedź.
• •Zła interpretacja nierówności kwadratowej. Masz pierwiastki, ale nie wiesz, czy bierzesz "między" czy "na zewnątrz" - decyduje znak ramion i kierunek nierówności.
• •Zapomniany drugi przypadek przy wartości bezwzględnej.
• •Zmiana znaku. Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną znak się odwraca. Banał, a kosztuje punkty co roku.

Jak systematycznie eliminować takie wpadki, opisałem w tekstach błędy rachunkowe na maturze - jak unikać i jak sprawdzać odpowiedzi na maturze.

Jak ćwiczyć ten dział skutecznie

Teoria bez zadań nic nie da. Plan jest prosty:

1. 1.Przerób przewodnik równania i nierówności - metody rozwiązywania, żeby ułożyć metody w głowie.
2. 2.Wejdź na stronę działu równania i nierówności i rób zadania jedno po drugim, od najłatwiejszych.
3. 3.Gdy utkniesz, nie zgaduj - wrzuć zadanie do solvera i zobacz rozwiązanie krok po kroku. Jak działa mądre korzystanie z solvera, tłumaczę w tekście solver matematyczny online - rozwiąż zadanie ze zdjęcia.
4. 4.Na koniec sprawdź się losowym zadaniem z całej bazy - bez wiedzy, jaki to typ, tak jak na prawdziwej maturze.

FAQ - równania i nierówności CKE

Podsumowanie

Równania i nierówności to dział, w którym da się zgarnąć dużo pewnych punktów, jeśli opanujesz kilka schematów: postać standardowa i delta dla kwadratowych, dziedzina przed rozwiązaniem dla wymiernych, podstawienie dla wyższych stopni, przypadki dla wartości bezwzględnej. Masz tu komplet zadań CKE z rozwiązaniami - zacznij od strony działu, a gdy utkniesz, solver doprowadzi cię do "aha". Powodzenia.

Następny krok Losuj kolejne zadanie