Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość 2,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: v=3,5 km/h
Krok 1. Wypisanie danych i relacji z treści zadania.
t - czas wchodzenia na wzgórze
1 godzina i 4 minuty, czyli 1 4/60=16/15 godziny - czas wchodzenia i schodzenia ze wzgórza
16/15-t - czas schodzenia ze wzgórza
v - prędkość wchodzenia na wzgórze
v+1 - prędkość schodzenia ze wzgórza
s=2,1 - długość drogi w kilometrach (w jednym kierunku)
Krok 2. Utworzenie i rozwiązanie układu równań.
Skorzystamy teraz ze wzoru na drogę s=vt i zapiszemy relację dotyczącą prędkości wchodzenia i schodzenia w formie układu równań:
vt=2,1 (v+1)(16/15-t)=2,1 t=2,1/v 16/15 v-vt+16/15-t=2,1
Teraz skorzystamy z metody podstawiania i podstawimy t=2,1/v do drugiego równania. Warto też będzie wymnożyć sobie wszystkie strony powstałego równania np. przez 30, tak aby pozbyć się wszystkich ułamków, zatem:
16/15 v-v · 2,1/v+16/15-2,1/v=2,1 / · 30 32v-63+32-63/v=63 / · v 32v²-63v+32v-63=63v 32v²-94v-63=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=32, b=-94, c=-63
Δ=b²-4ac=(-94)²-4 · 32 · (-63)=8836-(-8064)=16900 √(Δ)=√(16900)=130
v₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-94)-130)/(2 · 32)=(94-130)/64=-36/64=-9/16 v₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-94)+130)/(2 · 32)=(94+130)/64=224/64=3,5
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo prędkość nie może być ujemna. Zatem v=3,5 km/h i to jest nasza końcowa odpowiedź.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.