Wykresem funkcji kwadratowej f(x)=2x²+bx+c jest parabola, której wierzchołkiem jest punkt W=(4,0) . Oblicz wartości współczynników b i c .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: b=-16, c=32
Zadanie możemy rozwiązać na dwa sposoby:
I sposób - z wykorzystaniem postaci kanonicznej.
Krok 1. Odczytanie i podstawienie danych z treści zadania do postaci kanonicznej.
Funkcja przyjmuje postać f(x)=a(x-x_W)²+y_W dla współrzędnych wierzchołka W=(x_W;y_W). Współrzędne wierzchołka mamy podane w treści zadania, znamy też wartość współczynnika a, bo z postaci ogólnej możemy odczytać, że a=2. Podstawiając te wszystkie informacje do postaci kanonicznej otrzymamy:
f(x)=2 · (x-4)²+0 f(x)=2 · (x²-8x+16) f(x)=2x²-16x+32
Krok 2. Interpretacja otrzymanego wyniku.
W ten sposób otrzymaliśmy wzór ogólny, który możemy teraz przyrównać do postaci z treści zadania, czyli do f(x)=2x²+bx+c. Widzimy wyraźnie, że wartość poszukiwanych współczynników to b=-16 oraz c=32.
II sposób - z wykorzystaniem wzoru na współrzędne wierzchołka.
Krok 1. Obliczenie wartości współczynnika b.
Współrzędne wierzchołka możemy zapisać jako:
(x_W;y_W)=(-b/(2a);-Δ/(4a))
Znając wartość x_W oraz a bardzo szybko wyliczymy współczynnik b, korzystając właśnie ze współrzędnej iksowej.
x_W=-b/(2a) 4=-b/(2 · 2) 4=-b/4 16=-b b=-16
Krok 2. Obliczenie wartości delty oraz współczynnika c.
Brakuje nam jeszcze znajomości współczynnika c. Wyznaczymy go sobie z delty o której wiemy, że jest równa 0 (wynika to z tego, że współrzędna y=0). Jeśli nie widzimy tego, że delta jest równa 0, to oto dowód:
y_W=-Δ/(4a) 0=-Δ/(4 · 2) 0=-Δ/8 / · 8 0=-Δ / · (-1) Δ=0
W związku z tym:
Δ=b²-4ac 0=(-16)²-4 · 2 · c 0=256-8c 8c=256 c=32
W ten sposób obliczyliśmy, że b=-16 oraz c=32.
Funkcja kwadratowa: Postać ogólna, kanoniczna i iloczynowa, wyróżnik, wierzchołek paraboli oraz wartość najmniejsza i największa w przedziale.