Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2014

Matura z matematyki z maja 2014 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. To pierwszy rok obowiązywania nowej formuły egzaminu - format 25 zadań zamkniętych plus 9 otwartych, który znamy do dziś. CKE wprowadziła wtedy nową podstawę programową i całkowicie zmienioną strukturę arkusza. Dlatego ten egzamin warto znać - pokazuje, jak wyglądał punkt startowy obecnej matury.

Arkusz składał się z 25 zadań zamkniętych (po 1 punkcie) oraz 9 zadań otwartych (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było 50 punktów. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli chcesz mieć komfortowy wynik, celuj w 30+ punktów.

Jak na pierwszy arkusz w nowej formule, poziom trudności był rozsądny. CKE nie chciała zaskoczyć uczniów zbyt mocno. W porównaniu z maturą z maja 2015, która podniosła poprzeczkę, arkusz z 2014 jest bardziej przewidywalny i świetnie nadaje się jako pierwszy arkusz do ćwiczeń. Pełną listę wszystkich dostępnych arkuszy znajdziesz w kompletnej bazie zadań CKE.

Poniżej znajdziesz rozkład kategorii, analizę trudności, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami.

Rozkład kategorii w arkuszu

Arkusz jest bardzo zrównoważony - aż 18 różnych kategorii. Dominują trzy działy: równania i nierówności (3 zadania, 8 punktów - w tym jedno otwarte za 5 pkt), planimetria (3 zadania, 7 punktów) i stereometria (2 zadania, 5 punktów).

Zwróć uwagę na równania i nierówności - 8 punktów to aż 16% arkusza. Jeśli dobrze opanujesz rozkładanie wielomianów, równania z wartością bezwzględną i nierówności kwadratowe, masz ogromny zapas punktowy. Przeczytaj nasz przewodnik po równaniach i nierównościach, żeby mieć wszystkie metody w jednym miejscu.

Poziom trudności

Łatwe (ok. 17 punktów) - zadania zamknięte z potęg i pierwiastków, logarytmów, procentów, funkcji liniowej, układów równań, wyrażeń algebraicznych. To czyste rachunki i podstawowe wzory. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od powtórki potęg i pierwiastków i logarytmów.

Średnie (ok. 19 punktów) - ciągi, trygonometria, planimetria (zamknięte i otwarte za 2 pkt), prawdopodobieństwo, geometria analityczna, funkcje. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: trygonometria na maturze, prawdopodobieństwo.

Trudne (ok. 14 punktów) - równanie wielomianowe za 2 pkt (zad. 27), dowód z podzielności (zad. 28), stereometria za 4 pkt (zad. 32), zadanie z treścią za 5 pkt (zad. 33). Te zadania decydują o różnicy między 60% a 80%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - samo poprawne zapisanie równania czy narysowanie rysunku daje punkty. Przygotuj się z przewodnikiem po stereometrii i kombinatoryce.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}$ jest równa

Rozwiązanie:

Mamy dwa ułamki z niewymiernym mianownikiem. Klucz to usunięcie niewymierności (racjonalizacja). Mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez sprzężenie mianownika.

Pierwszy ułamek:

$$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$$

Drugi ułamek:

$$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$$

Teraz odejmujemy:

$$(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1 = 2$$

Odpowiedź: 2

To klasyczne zadanie na racjonalizację mianownika. Wzór skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ to twój najlepszy przyjaciel w takich zadaniach. Pamiętaj, że na maturze mnożysz zawsze przez sprzężenie - jeśli w mianowniku jest $\sqrt{3}-1$, mnożysz przez $\sqrt{3}+1$ i odwrotnie. Więcej w przewodniku po potęgach i pierwiastkach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Wartość wyrażenia $\log_8 16 + 1$ jest równa

Rozwiązanie:

Musimy obliczyć $\log_8 16$. Zarówno 8 jak i 16 to potęgi dwójki: $8 = 2^3$ i $16 = 2^4$. Korzystamy z definicji logarytmu i zamiany podstawy.

$$\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4$$

Stosujemy wzór $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \cdot \log_a b$:

$$\log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \cdot \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$$

Teraz dodajemy:

$$\log_8 16 + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$$

Odpowiedź: $\frac{7}{3}$

Kluczowa umiejętność: rozpoznawanie potęg wspólnej podstawy. Gdy widzisz $\log_8 16$, od razu myśl "obie liczby to potęgi 2". Alternatywny sposób: z definicji $\log_8 16 = x$ oznacza $8^x = 16$, czyli $2^{3x} = 2^4$, stąd $3x = 4$ i $x = 4/3$. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 14 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Kąt ostry $\alpha$ spełnia warunek $\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{5}$. Oblicz wartość wyrażenia trygonometrycznego.

Rozwiązanie:

Skoro $\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{5}$, to w trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw kąta $\alpha$ ma długość 2, a przyprostokątna przy kącie $\alpha$ ma długość 5.

Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną:

$$c = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$

Teraz znamy wszystkie boki trójkąta, więc możemy obliczyć dowolną funkcję trygonometryczną:

$$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \quad \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$$

Stąd wyznaczamy żądaną wartość, podstawiając odpowiednie wyrażenia.

Wskazówka: Gdy masz dany tangens jako ułamek $\frac{a}{b}$, rysuj trójkąt prostokątny z bokami $a$, $b$ i $\sqrt{a^2+b^2}$. To najszybsza metoda na maturze - nie musisz pamiętać jedynki trygonometrycznej, bo po prostu odczytujesz wartości z trójkąta. Przeczytaj przewodnik po trygonometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 24 - Kombinatoryka (1 pkt) ↗

Treść: Na ile sposobów można wybrać 2 zawodników z 10-osobowej drużyny?

Rozwiązanie:

Wybieramy 2 osoby z 10 - kolejność nie ma znaczenia (nie przypisujemy im ról, tylko wybieramy parę). To klasyczna kombinacja:

$$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$$

Odpowiedź: 45 sposobów

Na maturze zadania na kombinacje pojawiają się regularnie. Pamiętaj regułę: jeśli kolejność ma znaczenie, to wariacja. Jeśli nie - kombinacja. Tutaj para (Jan, Piotr) to to samo co (Piotr, Jan), więc stosujemy kombinację.

Szybki sposób na obliczanie $\binom{n}{2}$: to zawsze $\frac{n(n-1)}{2}$. Dla $n = 10$ masz $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. Przeczytaj przewodnik po kombinatoryce.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 27 - Równanie wielomianowe (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Grupowanie. Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy, grupując wyrazy parami:

$$9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$$ $$(9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8) = 0$$ $$9x^2(x + 2) - 4(x + 2) = 0$$

Krok 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika. Oba składniki zawierają $(x + 2)$:

$$(x + 2)(9x^2 - 4) = 0$$

Krok 3 - Rozkład różnicy kwadratów. Wyrażenie $9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2$ to różnica kwadratów:

$$(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0$$

Krok 4 - Rozwiązania. Każdy czynnik przyrównujemy do zera:

$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$
$$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$$
$$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$$

Odpowiedź: $x \in \left\{-2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\}$

To jedno z najważniejszych zadań otwartych w tym arkuszu. Metoda grupowania to technika, która pojawia się na maturze co kilka lat. Schemat: podziel 4 wyrazy na 2 pary, z każdej wyciągnij wspólny czynnik, a potem wyciągnij wspólny nawias. Szukaj tego wzorca, gdy widzisz wielomian stopnia 3.

Schemat punktowania: (1) poprawne pogrupowanie i wyciągnięcie $(x+2)$, (2) pełny rozkład i wszystkie trzy rozwiązania. Nawet sam poprawny rozkład na $(x+2)(9x^2-4)$ daje punkt cząstkowy. Więcej w przewodniku po równaniach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 28 - Dowód podzielności (2 pkt) ↗

Treść: Liczba naturalna $k$ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7. Udowodnij, że $k^2$ daje resztę 4 przy dzieleniu przez 7.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Zapis algebraiczny. Skoro $k$ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7, to istnieje taka liczba całkowita $m \geq 0$, że:

$$k = 7m + 2$$

Krok 2 - Podniesienie do kwadratu.

$$k^2 = (7m + 2)^2 = 49m^2 + 28m + 4$$

Krok 3 - Wyodrębnienie wielokrotności 7.

$$k^2 = 49m^2 + 28m + 4 = 7(7m^2 + 4m) + 4$$

Krok 4 - Wniosek. Wyrażenie $7m^2 + 4m$ jest liczbą całkowitą (bo $m$ jest liczbą całkowitą). Zatem $k^2$ ma postać $7 \cdot (\text{liczba całkowita}) + 4$, co oznacza, że reszta z dzielenia $k^2$ przez 7 wynosi 4. $\square$

To typowe zadanie dowodowe na podzielność - pojawia się na maturze regularnie. Schemat jest zawsze taki sam: zapisz liczbę w postaci $an + r$ (gdzie $r$ to reszta), wykonaj żądaną operację (tu podniesienie do kwadratu), a potem pokaż, że wynik ma postać $an' + r'$ (gdzie $r'$ to szukana reszta).

Najczęstszy błąd: uczniowie próbują "sprawdzić na przykładach" (np. $k = 2$, $k = 9$). Przykłady to NIE jest dowód. CKE wymaga ogólnego rozumowania z literą $m$. Za same przykłady dostajesz 0 punktów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Stereometria (4 pkt) ↗

Treść: Prostopadłościan ma pole powierzchni całkowitej równe 198 cm². Krawędzie prostopadłościanu są w stosunku 1:2:3. Oblicz objętość tego prostopadłościanu.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Oznaczenia. Krawędzie prostopadłościanu w stosunku 1:2:3 zapiszemy jako $a$, $2a$ i $3a$.

Krok 2 - Pole powierzchni całkowitej. Prostopadłościan ma 3 pary ścian:

$$P_c = 2(a \cdot 2a + a \cdot 3a + 2a \cdot 3a)$$ $$P_c = 2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 2 \cdot 11a^2 = 22a^2$$

Krok 3 - Wyznaczenie $a$. Z warunku $P_c = 198$:

$$22a^2 = 198$$ $$a^2 = 9$$ $$a = 3 \text{ cm}$$

(bierzemy wartość dodatnią, bo $a$ to długość krawędzi)

Krok 4 - Objętość.

Krawędzie mają długości: $a = 3$ cm, $2a = 6$ cm, $3a = 9$ cm.

$$V = a \cdot 2a \cdot 3a = 3 \cdot 6 \cdot 9 = 162 \text{ cm}^3$$

Alternatywnie: $V = 6a^3 = 6 \cdot 27 = 162 \text{ cm}^3$.

Odpowiedź: $V = 162 \text{ cm}^3$

Schemat punktowania CKE: (1) prawidłowe oznaczenie krawędzi - 1 pkt, (2) poprawne obliczenie pola powierzchni - 1 pkt, (3) wyznaczenie $a$ - 1 pkt, (4) obliczenie objętości - 1 pkt. Nawet jeśli pomylisz się w rachunkach na końcu, trzy pierwsze kroki dają 3 z 4 punktów.

Najczęstsze błędy:

Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach ze stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 33 - Zadanie z treścią (5 pkt) ↗

Treść: Turysta wyruszył z punktu A do zamku na wzgórzu. Szedł drogą o długości 2,1 km pod górę ze średnią prędkością 3 km/h, a następnie wracał tą samą drogą z góry ze średnią prędkością 5 km/h. Czas przejścia w obie strony wyniósł 1 godzinę i 6 minut. Ile wynosiła droga turysty pod górę?

Rozwiązanie:

Krok 1 - Oznaczenia. Oznaczmy długość drogi pod górę jako $x$ km, a długość drogi po płaskim jako $y$ km. Całkowita droga w jedną stronę to $x + y = 2{,}1$ km, czyli $y = 2{,}1 - x$.

Krok 2 - Prędkości.

Krok 3 - Czas przejścia. Czas = droga / prędkość. Całkowity czas w obie strony:

$$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5} = 1{,}1$$

(1 godzina i 6 minut = 1,1 godziny)

Upraszczamy:

$$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{2y}{4} = 1{,}1$$ $$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1{,}1$$

Krok 4 - Podstawienie. Z $y = 2{,}1 - x$:

$$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{2{,}1 - x}{2} = 1{,}1$$

Sprowadzamy do wspólnego mianownika (30):

$$\frac{10x}{30} + \frac{6x}{30} + \frac{15(2{,}1 - x)}{30} = 1{,}1$$ $$\frac{10x + 6x + 31{,}5 - 15x}{30} = 1{,}1$$ $$\frac{x + 31{,}5}{30} = 1{,}1$$ $$x + 31{,}5 = 33$$ $$x = 1{,}5 \text{ km}$$

Odpowiedź: Droga turysty pod górę wynosiła 1,5 km.

Sprawdzenie: Pod górę: 1,5/3 = 0,5 h. Z góry: 1,5/5 = 0,3 h. Po płaskim (tam): 0,6/4 = 0,15 h. Po płaskim (z powrotem): 0,6/4 = 0,15 h. Razem: 0,5 + 0,3 + 0,15 + 0,15 = 1,1 h = 1 h 6 min. Zgadza się.

Schemat punktowania CKE: (1) poprawne oznaczenia i zapis danych - 1 pkt, (2) ułożenie równania - 2 pkt, (3) rozwiązanie równania - 1 pkt, (4) odpowiedź z właściwą jednostką - 1 pkt. To zadanie za 5 punktów, więc warto je podjąć nawet jeśli nie jesteś pewien - samo ułożenie równania daje 3 punkty.

Najczęstsze błędy:

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-5 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2014

1. Równania i nierówności to fundament arkusza. 3 zadania za 8 punktów - 16% arkusza. Opanuj rozkład wielomianów, grupowanie, różnicę kwadratów i nierówności kwadratowe. Przećwicz na zadaniach z równań i nierówności.

2. Dowody podzielności mają stały schemat. Zadanie 28 to idealny przykład: zapisz liczbę jako $k = 7m + 2$, podnieś do kwadratu, wyłącz wielokrotność 7 i pokaż resztę. Ten schemat działa w każdym zadaniu na reszty z dzielenia. Nigdy nie "sprawdzaj na przykładach" - to nie jest dowód.

3. Stereometria wymaga systematyczności. Dwa zadania otwarte za łącznie 8 punktów (zad. 32 i 34). Klucz to prawidłowe oznaczenie krawędzi, obliczenie pola powierzchni i objętości krok po kroku. Nie przeskakuj etapów. Ćwicz stereometrię.

4. Racjonalizacja mianownika to pewny punkt. Zadanie 3 to klasyka. Wzór $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ eliminuje pierwiastki z mianownika. Pojawia się na maturze co 2-3 lata. Powtórz potęgi i pierwiastki.

5. Zadania z treścią wymagają precyzji w oznaczeniach. Zadanie 33 za 5 punktów to dużo. Ale sam zapis danych i ułożenie równania daje 3 punkty. Zawsze zacznij od: co oznaczam literą, jakie mam dane, jakie równanie z tego wynika. Nawet jeśli nie rozwiążesz do końca, masz ponad połowę punktów.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych. Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy. Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. Zidentyfikuj słabe obszary. Jeśli nie dałeś rady zadaniom ze stereometrii, przeczytaj przewodnik po stereometrii i rozwiąż 10-15 podobnych zadań. To samo z planimetrią i równaniami.

4. Przećwicz sąsiednie roczniki. Po maturze z maja 2014 spróbuj matury maj 2015 i matury maj 2013 - porównanie arkuszy z różnych lat daje świetne wyczucie stylu CKE. Pełną listę znajdziesz w bazie arkuszy CKE.

5. Skup się na punktach cząstkowych. W zadaniach za 4-5 punktów nawet napisanie samej dziedziny, narysowanie rysunku lub obliczenie jednej wielkości pośredniej daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki. Każdy krok to potencjalny punkt.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na stronę losowego zadania. A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz plan premium lub przetestuj darmowo na Sprawnej Maturze.