Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Mamy dwa ułamki z niewymiernym mianownikiem. Klucz to usunięcie niewymierności (racjonalizacja). Mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez sprzężenie mianownika.

Pierwszy ułamek:

Drugi ułamek:

Teraz odejmujemy:

To klasyczne zadanie na racjonalizację mianownika. Wzór skróconego mnożenia $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ to twój najlepszy przyjaciel w takich zadaniach. Pamiętaj, że na maturze mnożysz zawsze przez sprzężenie - jeśli w mianowniku jest $\sqrt{3}-1$, mnożysz przez $\sqrt{3}+1$ i odwrotnie. Więcej w przewodniku po potęgach i pierwiastkach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Musimy obliczyć $\log_8 16$. Zarówno 8 jak i 16 to potęgi dwójki: $8 = 2^3$ i $16 = 2^4$. Korzystamy z definicji logarytmu i zamiany podstawy.

Stosujemy wzór $\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \cdot \log_a b$:

Teraz dodajemy:

Kluczowa umiejętność: rozpoznawanie potęg wspólnej podstawy. Gdy widzisz $\log_8 16$, od razu myśl "obie liczby to potęgi 2". Alternatywny sposób: z definicji $\log_8 16 = x$ oznacza $8^x = 16$, czyli $2^{3x} = 2^4$, stąd $3x = 4$ i $x = 4/3$. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Najkrócej: dzielimy licznik i mianownik przez $\cos\alpha$ (dla kąta ostrego $\cos\alpha \neq 0$). Wtedy każdy iloraz $\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ zamienia się w $\operatorname{tg}\alpha$:

Podstawiamy $\operatorname{tg}\alpha = \frac{2}{5}$:

To samo wyjdzie z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych 2 i 5: przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{29}$, więc $\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}$ i $\cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$. Po podstawieniu $\sqrt{29}$ się skraca.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wybieramy 2 osoby z 10 - kolejność nie ma znaczenia (nie przypisujemy im ról, tylko wybieramy parę). To klasyczna kombinacja:

Na maturze zadania na kombinacje pojawiają się regularnie. Pamiętaj regułę: jeśli kolejność ma znaczenie, to wariacja. Jeśli nie - kombinacja. Tutaj para (Jan, Piotr) to to samo co (Piotr, Jan), więc stosujemy kombinację.

Szybki sposób na obliczanie $\binom{n}{2}$: to zawsze $\frac{n(n-1)}{2}$. Dla $n = 10$ masz $\frac{10 \cdot 9}{2} = 45$. Przeczytaj przewodnik po kombinatoryce.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Grupowanie

   Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy, grupując wyrazy parami:

   $9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$$(9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8) = 0$$9x^2(x + 2) - 4(x + 2) = 0$
2. Krok 2

   Wyciągnięcie wspólnego czynnika

   Oba składniki zawierają $(x + 2)$:

   $(x + 2)(9x^2 - 4) = 0$
3. Krok 3

   Rozkład różnicy kwadratów

   Wyrażenie $9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2$ to różnica kwadratów:

   $(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0$
4. Krok 4

   Rozwiązania

   Każdy czynnik przyrównujemy do zera:

   $x + 2 = 0 \implies x = -2$
   $3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$
   $3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$

To jedno z najważniejszych zadań otwartych w tym arkuszu. Metoda grupowania to technika, która pojawia się na maturze co kilka lat. Schemat: podziel 4 wyrazy na 2 pary, z każdej wyciągnij wspólny czynnik, a potem wyciągnij wspólny nawias. Szukaj tego wzorca, gdy widzisz wielomian stopnia 3.

Schemat punktowania: (1) poprawne pogrupowanie i wyciągnięcie $(x+2)$, (2) pełny rozkład i wszystkie trzy rozwiązania. Nawet sam poprawny rozkład na $(x+2)(9x^2-4)$ daje punkt cząstkowy. Więcej w przewodniku po równaniach.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Zapis algebraiczny

   Skoro $k$ daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7, to $k = 7n + 2$ dla pewnej liczby całkowitej $n$.

2. Krok 2

   Podstawienie do $3k^2$

   $3k^2 = 3(7n + 2)^2 = 3(49n^2 + 28n + 4) = 147n^2 + 84n + 12$
3. Krok 3

   Wyłączenie wielokrotności 7

   Liczbę 12 rozbijamy na $7 + 5$:

   $3k^2 = 147n^2 + 84n + 7 + 5 = 7(21n^2 + 12n + 1) + 5$
4. Krok 4

   Wniosek

   Liczba $21n^2 + 12n + 1$ jest całkowita, więc $3k^2$ ma postać $7 \cdot (\text{liczba całkowita}) + 5$. Reszta z dzielenia $3k^2$ przez 7 jest równa 5. $\square$

   Schemat jest zawsze taki sam: zapisz liczbę w postaci $7n + r$, wykonaj działanie z treści, a wynik doprowadź do postaci $7 \cdot (\ldots) + r'$, gdzie $0 \le r' < 7$.

   Najczęstszy błąd: sprawdzanie na przykładach (np. $k = 2$, $k = 9$). Przykłady nie są dowodem, potrzebne jest rozumowanie dla dowolnego $n$.

   Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczenia

   Krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka oznaczamy $x$, $2x$ i $3x$.

2. Krok 2

   Pole powierzchni całkowitej

   Prostopadłościan ma 3 pary jednakowych ścian:

   $P_c = 2(x \cdot 2x + x \cdot 3x + 2x \cdot 3x) = 2(2x^2 + 3x^2 + 6x^2) = 22x^2$
3. Krok 3

   Wyznaczenie $x$

   $22x^2 = 198 \implies x^2 = 9 \implies x = 3$

   (odrzucamy $x = -3$, bo długość jest dodatnia). Krawędzie mają długości 3, 6 i 9.

4. Krok 4

   Przekątna podstawy

   Dla podstawy o bokach 3 i 6:

   $d^2 = 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45$
5. Krok 5

   Przekątna prostopadłościanu

   Przekątna podstawy, krawędź 9 i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny:

   $D^2 = 45 + 9^2 = 45 + 81 = 126 \implies D = \sqrt{126} = \sqrt{9 \cdot 14} = 3\sqrt{14}$

Kroki 4 i 5 można połączyć we wzór $D = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$. Najczęstsze pułapki w tym zadaniu:

• •zapomnienie o mnożniku 2 w polu powierzchni (prostopadłościan ma pary ścian),
• •przyjęcie krawędzi 1, 2, 3 zamiast $x$, $2x$, $3x$,
• •obliczenie objętości zamiast przekątnej ($3 \cdot 6 \cdot 9 = 162$ to objętość, a nie odpowiedź).

Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach ze stereometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Oznaczenia

   Niech $v$ (km/h) oznacza prędkość wchodzenia, wtedy $v + 1$ to prędkość schodzenia. Czas zamieniamy na godziny: $1$ h $4$ min $= 1\frac{4}{60} = \frac{16}{15}$ h.

2. Krok 2

   Równanie

   Czas wejścia to $\frac{2{,}1}{v}$, czas zejścia to $\frac{2{,}1}{v+1}$:

   $\frac{2{,}1}{v} + \frac{2{,}1}{v+1} = \frac{16}{15}$
3. Krok 3

   Rozwiązanie

   Mnożymy obie strony przez $15v(v+1)$:

   $31{,}5(v+1) + 31{,}5v = 16v(v+1)$$63v + 31{,}5 = 16v^2 + 16v$$16v^2 - 47v - 31{,}5 = 0 \quad \big/ \cdot 2$$32v^2 - 94v - 63 = 0$$\Delta = 94^2 + 4 \cdot 32 \cdot 63 = 8836 + 8064 = 16900, \quad \sqrt{\Delta} = 130$$v = \frac{94 + 130}{64} = \frac{224}{64} = 3{,}5 \quad \text{lub} \quad v = \frac{94 - 130}{64} < 0$

   Prędkość jest dodatnia, więc $v = 3{,}5$ km/h.

   Sprawdzenie: wejście $2{,}1 : 3{,}5 = 0{,}6$ h $= 36$ min, zejście $2{,}1 : 4{,}5 = \frac{7}{15}$ h $= 28$ min. Razem 64 minuty, czyli 1 h 4 min. Zgadza się.

Najczęstsze błędy:

• •zamiana 1 h 4 min na 1,04 h zamiast $\frac{16}{15}$ h,
• •wzięcie odwrotnej zależności prędkości (pytanie dotyczy wolniejszego wchodzenia),
• •brak odrzucenia ujemnego rozwiązania.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze