Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wybranych zadań krok po kroku

Rozwiązanie:

Rozbijamy na dwa osobne logarytmy.

Pierwszy: $\log 100$. Zapis $\log$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10}$. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 10, żeby dostać 100?

Drugi: $\log_2 8$. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8?

Teraz odejmujemy:

Uwaga na typowy błąd: uczniowie próbują stosować własność różnicy logarytmów ($\log a - \log b = \log(a/b)$), ale to działa tylko gdy logarytmy mają tę samą podstawę. Tu mamy logarytm dziesiętny i logarytm o podstawie 2 - nie można ich łączyć w jeden. Trzeba obliczyć każdy osobno. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia. Przypomnij sobie:

Porównujemy z naszym wyrażeniem $4x^2 - 12x + 9$:

• •$a^2 = 4x^2$, więc $a = 2x$
• •$b^2 = 9$, więc $b = 3$
• •Sprawdzenie: $2ab = 2 \cdot 2x \cdot 3 = 12x$ - zgadza się!

To jedno z najczęstszych zadań na maturze - rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia. Trzy kluczowe wzory do zapamiętania: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ i $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Jeśli widzisz trójmian, zawsze sprawdź, czy nie pasuje do kwadratu dwumianu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Z jedynki trygonometrycznej $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ wyznaczamy $\cos^2\alpha$:

Podstawiamy do wyrażenia:

To samo wychodzi z wartości kąta: kąt ostry o sinusie $\frac{\sqrt{3}}{2}$ to $60^\circ$, więc $\cos\alpha = \frac{1}{2}$ i $\cos^2\alpha = \frac{1}{4}$.

Uważaj, od czego odejmujesz 2: od kwadratu cosinusa, a nie od samego cosinusa. Wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60° warto znać na pamięć, bo skracają takie zadania do jednej linijki. Przeczytaj nasz przewodnik po trygonometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$, bo kolejność rzutów ma znaczenie.

Liczba 5 jest pierwsza, więc iloczyn dwóch liczb oczek jest równy 5 tylko dla par $(1, 5)$ i $(5, 1)$. Zdarzeń sprzyjających jest $|A| = 2$.

Pary $(1, 5)$ i $(5, 1)$ to dwa różne wyniki: raz piątka wypada w pierwszym rzucie, raz w drugim. Kto policzy je jako jeden wynik, dostanie $\frac{1}{36}$, czyli błędną odpowiedź A. Więcej o prawdopodobieństwie na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

Mamy wielomian trzeciego stopnia. Kluczowa technika: grupowanie wyrazów.

1. Krok 1

   Grupujemy parami:

   $x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0$$(x^3 + 2x^2) + (-8x - 16) = 0$
2. Krok 2

   Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:

   $x^2(x + 2) - 8(x + 2) = 0$
3. Krok 3

   Wyciągamy wspólny dwumian:

   $(x + 2)(x^2 - 8) = 0$
4. Krok 4

   Rozwiązujemy każdy czynnik:

   $x + 2 = 0 \implies x = -2$$x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = 2\sqrt{2} \text{ lub } x = -2\sqrt{2}$

Grupowanie to jedna z najważniejszych technik na maturze dla wielomianów wyższych stopni. Schemat jest zawsze taki sam: (1) pogrupuj wyrazy po dwa, (2) wyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy, (3) wyciągnij wspólny dwumian. Nie zawsze działa z pierwszym podziałem - czasem trzeba przestawić wyrazy. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach.

Schemat punktowania: (1) poprawne rozkładanie na czynniki - 1 pkt, (2) wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków - 1 pkt.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Wyłączamy wspólny czynnik

   Szukamy najniższej potęgi szóstki - to $6^{98}$:

   $6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = 6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10)$
2. Krok 2

   Obliczamy nawias:

   $6^2 - 2 \cdot 6 + 10 = 36 - 12 + 10 = 34$
3. Krok 3

   Rozkładamy 34:

   $34 = 2 \cdot 17$
4. Krok 4

   Łączymy:

   $6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10) = 6^{98} \cdot 34 = 6^{98} \cdot 2 \cdot 17$

   Wyrażenie ma postać $6^{98} \cdot 2 \cdot 17$, więc jest iloczynem liczby całkowitej $6^{98} \cdot 2$ i liczby 17. To oznacza, że jest podzielne przez 17. $\square$

To klasyczny schemat dowodu podzielności na maturze: (1) wyłącz wspólny czynnik, (2) oblicz to, co zostanie w nawiasie, (3) pokaż, że wynik jest wielokrotnością danej liczby. Kluczowy moment to rozpoznanie, że 34 = 2 * 17. Jeśli nie zobaczysz tego od razu, po prostu rozłóż 34 na czynniki pierwsze.

Schemat punktowania: (1) poprawne wyłączenie $6^{98}$ - 1 pkt, (2) obliczenie wartości nawiasu i wykazanie podzielności - 1 pkt.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Trójkąty równoramienne

   Środek okręgu opisanego jest jednakowo oddalony od wierzchołków: $|SA| = |SB| = |SC| = R$. Dlatego trójkąty $ABS$, $BCS$ i $ACS$ są równoramienne i w każdym z nich kąty przy podstawie są równe.

2. Krok 2

   Oznaczenia

   Niech $|\angle BAS| = \alpha$. Wtedy:
   

   • •w trójkącie $ABS$: $|\angle ABS| = |\angle BAS| = \alpha$,
   • •w trójkącie $BCS$: $|\angle BCS| = |\angle CBS| = 2\alpha$,
   • •w trójkącie $ACS$: $|\angle CAS| = |\angle ACS| = 3\alpha$.

3. Krok 3

   Kąty trójkąta $ABC$

   Trójkąt jest ostrokątny, więc $S$ leży w jego wnętrzu, a każdy kąt trójkąta jest sumą dwóch kątów z kroku 2:

   $|\angle A| = \alpha + 3\alpha = 4\alpha, \quad |\angle B| = \alpha + 2\alpha = 3\alpha, \quad |\angle C| = 2\alpha + 3\alpha = 5\alpha$
4. Krok 4

   Suma kątów trójkąta

   $4\alpha + 3\alpha + 5\alpha = 180^\circ \implies 12\alpha = 180^\circ \implies \alpha = 15^\circ$

   Stąd $|\angle A| = 60^\circ$, $|\angle B| = 45^\circ$, $|\angle C| = 75^\circ$. Wszystkie kąty są ostre, tak jak w treści.

W zadaniach z okręgiem opisanym zacznij od narysowania promieni do wszystkich wierzchołków. Powstają trzy trójkąty równoramienne, a ich kąty przy podstawach zwykle wystarczają do rozwiązania. Przeczytaj przewodnik po planimetrii, żeby przećwiczyć zadania z okręgami opisanymi i wpisanymi.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

Rozwiązanie:

1. Krok 1

   Krawędź podstawy

   Podstawą jest kwadrat o polu $100\ \text{cm}^2$, więc jego bok ma długość $a = 10$ cm.

2. Krok 2

   Wysokość ściany bocznej

   Powierzchnię boczną tworzą 4 jednakowe trójkąty o podstawie $a$ i wysokości $h$:

   $4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot h = 260 \implies 20h = 260 \implies h = 13 \text{ cm}$
3. Krok 3

   Wysokość ostrosłupa

   Spodek wysokości $O$ to środek kwadratu. Odległość $O$ od środka krawędzi podstawy to $\frac{a}{2} = 5$ cm. Wysokość ostrosłupa $H$, ten odcinek i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny:

   $H^2 + 5^2 = 13^2 \implies H^2 = 169 - 25 = 144 \implies H = 12 \text{ cm}$
4. Krok 4

   Objętość

   $V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot 12 = 400 \text{ cm}^3$

Wysokość ściany bocznej (13 cm) to nie krawędź boczna ostrosłupa. Krawędź boczna jest dłuższa: $\sqrt{13^2 + 5^2} = \sqrt{194}$ cm. Pomylenie tych dwóch odcinków daje złą wysokość ostrosłupa i złą objętość. Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach z ostrosłupów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze