Matura maj 2013 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku

O arkuszu - Matura maj 2013

Matura z matematyki z maja 2013 to arkusz ze starej formuły, ale wciąż świetny do ćwiczeń. Dlaczego? Bo matematyka się nie zmienia. Te same twierdzenia, te same wzory, te same schematy rozwiązywania. Jedyna różnica to układ arkusza - poza tym poziom trudności jest zbliżony do współczesnych matur.

Arkusz składał się z 25 zadań zamkniętych (po 1 punkcie) oraz 9 zadań otwartych (za 2-4 punkty). Łącznie do zdobycia było 50 punktów. Struktura identyczna jak w nowszych maturach - 34 zadania, ten sam próg zdawalności 30%.

Jeśli szukasz nowszego arkusza do porównania, sprawdź maturę z maja 2014 - ma zbliżony poziom trudności. A jeśli chcesz przerobić wszystkie dostępne arkusze po kolei, zajrzyj do kompletnej bazy arkuszy CKE 2010-2025.

Poniżej znajdziesz analizę arkusza, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami do interaktywnych rozwiązań.

Rozkład kategorii w arkuszu

Równania i nierówności to absolutny dominat tego arkusza - ponad 5 zadań za łącznie 11 punktów. To ponad 20% całego arkusza. Jeśli dobrze opanujesz ten dział, masz solidną bazę punktową. Przeczytaj nasz przewodnik po równaniach i nierównościach, żeby mieć wszystkie metody w jednym miejscu.

Drugie miejsce zajmuje stereometria - 3 zadania za 6 punktów. To dużo jak na jeden dział. Dobrze opanowana stereometria to klucz do wysokiego wyniku na tym arkuszu. Trzecie miejsce dzielą planimetria (5 pkt) i geometria analityczna (3 pkt w 4 zadaniach).

Poziom trudności

Łatwe (ok. 16 punktów) - zadania zamknięte z logarytmów, procentów, potęg, funkcji liniowej, statystyki i prostych równań. Wystarczy znajomość podstawowych wzorów i spokojne rachunki. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od powtórki potęg i pierwiastków i logarytmów.

Średnie (ok. 20 punktów) - geometria analityczna, trygonometria, ciągi, wyrażenia algebraiczne, zadania otwarte za 2 punkty. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: ciągi arytmetyczne i geometryczne, trygonometria na maturze, geometria analityczna.

Trudne (ok. 14 punktów) - dowód podzielności (zad. 31), planimetria z okręgiem opisanym (zad. 32), stereometria z ostrosłupem (zad. 33), równanie trzeciego stopnia (zad. 26). Te zadania odróżniają wynik 60% od 80%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe. Przygotuj się z przewodnikiem po stereometrii i planimetrii.

Rozwiązania wybranych zadań

Zadanie 3 - Logarytmy (1 pkt) ↗

Treść: Oblicz $\log 100 - \log_2 8$.

Rozwiązanie:

Rozbijamy na dwa osobne logarytmy.

Pierwszy: $\log 100$. Zapis $\log$ bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli $\log_{10}$. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 10, żeby dostać 100?

$$\log 100 = \log_{10} 100 = 2 \quad \text{(bo } 10^2 = 100\text{)}$$

Drugi: $\log_2 8$. Pytamy: do jakiej potęgi podnieść 2, żeby dostać 8?

$$\log_2 8 = 3 \quad \text{(bo } 2^3 = 8\text{)}$$

Teraz odejmujemy:

$$\log 100 - \log_2 8 = 2 - 3 = -1$$

Odpowiedź: -1

Uwaga na typowy błąd: uczniowie próbują stosować własność różnicy logarytmów ($\log a - \log b = \log(a/b)$), ale to działa tylko gdy logarytmy mają tę samą podstawę. Tu mamy logarytm dziesiętny i logarytm o podstawie 2 - nie można ich łączyć w jeden. Trzeba obliczyć każdy osobno. Więcej o logarytmach na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 7 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt) ↗

Treść: Wyrażenie $4x^2 - 12x + 9$ jest równe...

Rozwiązanie:

Rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia. Przypomnij sobie:

$$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$

Porównujemy z naszym wyrażeniem $4x^2 - 12x + 9$:

$$4x^2 - 12x + 9 = (2x - 3)^2$$

Odpowiedź: $(2x - 3)^2$

To jedno z najczęstszych zadań na maturze - rozpoznawanie wzorów skróconego mnożenia. Trzy kluczowe wzory do zapamiętania: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ i $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Jeśli widzisz trójmian, zawsze sprawdź, czy nie pasuje do kwadratu dwumianu.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 14 - Trygonometria (1 pkt) ↗

Treść: Dane jest $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$, gdzie $\alpha \in (0°, 90°)$. Oblicz $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$.

Rozwiązanie:

Metoda 1 - bezpośrednia.

Skoro $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$ i $\alpha$ jest kątem ostrym, to $\alpha = 60°$.

Teraz obliczamy:

$$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} = -\frac{1}{2}$$

Metoda 2 - przez tożsamość.

Wyrażenie $\cos^2\alpha - \sin^2\alpha$ to tożsamość trygonometryczna:

$$\cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha$$

Więc:

$$\cos 2\alpha = \cos(2 \cdot 60°) = \cos 120° = -\frac{1}{2}$$

Odpowiedź: $-\frac{1}{2}$

Obie metody prowadzą do tego samego wyniku. Na maturze podstawowej metoda 1 jest bezpieczniejsza - nie wymaga znajomości wzorów na podwójny kąt. Wystarczy pamiętać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45° i 60°. Jeśli nie znasz ich na pamięć, naucz się - to pewne punkty na każdej maturze. Przeczytaj nasz przewodnik po trygonometrii.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 22 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) ↗

Treść: Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie podzielna przez 5.

Rozwiązanie:

Cała przestrzeń zdarzeń to $6 \times 6 = 36$ par wyników (bo każda kostka może pokazać 1-6).

Suma oczek z dwóch kostek wynosi od 2 do 12. Sumy podzielne przez 5 to: 5 i 10.

Suma = 5: Pary (kostka 1, kostka 2):

Suma = 10: Pary:

Łącznie zdarzeń sprzyjających: $4 + 3 = 7$.

$$P = \frac{7}{36}$$

Odpowiedź: $P = \frac{7}{36}$

Klucz do tego zadania to systematyczne wypisanie par. Nie próbuj liczyć "w głowie" - wypisz wszystkie pary dające daną sumę. Częsty błąd: zapomnienie, że (1, 4) i (4, 1) to dwie różne pary (kolejność ma znaczenie, bo to dwie różne kostki). Więcej o prawdopodobieństwie na maturze.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 26 - Równanie trzeciego stopnia (2 pkt) ↗

Treść: Rozwiąż równanie $x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0$.

Rozwiązanie:

Mamy wielomian trzeciego stopnia. Kluczowa technika: grupowanie wyrazów.

Krok 1 - Grupujemy parami:

$$x^3 + 2x^2 - 8x - 16 = 0$$ $$(x^3 + 2x^2) + (-8x - 16) = 0$$

Krok 2 - Wyciągamy wspólny czynnik z każdej grupy:

$$x^2(x + 2) - 8(x + 2) = 0$$

Krok 3 - Wyciągamy wspólny dwumian:

$$(x + 2)(x^2 - 8) = 0$$

Krok 4 - Rozwiązujemy każdy czynnik:

$$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ $$x^2 - 8 = 0 \implies x^2 = 8 \implies x = 2\sqrt{2} \text{ lub } x = -2\sqrt{2}$$

Odpowiedź: $x \in \{-2,\; -2\sqrt{2},\; 2\sqrt{2}\}$

Grupowanie to jedna z najważniejszych technik na maturze dla wielomianów wyższych stopni. Schemat jest zawsze taki sam: (1) pogrupuj wyrazy po dwa, (2) wyciągnij wspólny czynnik z każdej grupy, (3) wyciągnij wspólny dwumian. Nie zawsze działa z pierwszym podziałem - czasem trzeba przestawić wyrazy. Przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach.

Schemat punktowania: (1) poprawne rozkładanie na czynniki - 1 pkt, (2) wyznaczenie wszystkich trzech pierwiastków - 1 pkt.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 31 - Dowód podzielności (2 pkt) ↗

Treść: Wykaż, że wyrażenie $6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98}$ jest podzielne przez 17.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Wyłączamy wspólny czynnik. Szukamy najniższej potęgi szóstki - to $6^{98}$:

$$6^{100} - 2 \cdot 6^{99} + 10 \cdot 6^{98} = 6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10)$$

Krok 2 - Obliczamy nawias:

$$6^2 - 2 \cdot 6 + 10 = 36 - 12 + 10 = 34$$

Krok 3 - Rozkładamy 34:

$$34 = 2 \cdot 17$$

Krok 4 - Łączymy:

$$6^{98}(6^2 - 2 \cdot 6 + 10) = 6^{98} \cdot 34 = 6^{98} \cdot 2 \cdot 17$$

Wyrażenie ma postać $6^{98} \cdot 2 \cdot 17$, więc jest iloczynem liczby całkowitej $6^{98} \cdot 2$ i liczby 17. To oznacza, że jest podzielne przez 17. $\square$

Odpowiedź: wyrażenie jest podzielne przez 17.

To klasyczny schemat dowodu podzielności na maturze: (1) wyłącz wspólny czynnik, (2) oblicz to, co zostanie w nawiasie, (3) pokaż, że wynik jest wielokrotnością danej liczby. Kluczowy moment to rozpoznanie, że 34 = 2 * 17. Jeśli nie zobaczysz tego od razu, po prostu rozłóż 34 na czynniki pierwsze.

Schemat punktowania: (1) poprawne wyłączenie $6^{98}$ - 1 pkt, (2) obliczenie wartości nawiasu i wykazanie podzielności - 1 pkt.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 32 - Planimetria, okrąg opisany (4 pkt) ↗

Treść: Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest dany. Wyznacz kąty trójkąta.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Kluczowa własność. Środek okręgu opisanego na trójkącie to punkt przecięcia symetralnych boków. Oznacza to, że S jest równoodległy od wierzchołków: $SA = SB = SC = R$ (promień okręgu opisanego).

Krok 2 - Trójkąty równoramienne. Skoro $SC = SA = R$, trójkąt SAC jest równoramienny (ramiona SA = SC). Analogicznie trójkąty SAB i SBC są równoramienne.

Krok 3 - Twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym. Kąt środkowy ASB jest dwa razy większy od kąta wpisanego ACB opartego na tym samym łuku:

$$\angle ASB = 2 \cdot \angle ACB$$

Krok 4 - Wykorzystanie danych. Z danego kąta ACS wyznaczamy kąt ACB. Ponieważ trójkąt SAC jest równoramienny (SA = SC = R), kąty przy podstawie AC są równe: $\angle SAC = \angle SCA$.

Kąt ACS to kąt między SC a CA, czyli $\angle SCA$. Kąt ACB to suma lub różnica kątów z podziałem przez S - zależy od konkretnej konfiguracji.

Krok 5 - Wyznaczenie kątów. Korzystając ze związków między kątami w trójkątach równoramiennych SAC, SAB i SBC oraz z faktu, że suma kątów trójkąta ABC wynosi 180°, wyznaczamy wszystkie kąty trójkąta.

Wskazówka egzaminacyjna: W zadaniach z okręgiem opisanym zawsze zacznij od narysowania rysunku z zaznaczonym środkiem S i promieniami do wierzchołków. Pamiętaj o dwóch kluczowych własnościach: (1) SA = SB = SC = R, (2) kąt środkowy = 2 * kąt wpisany. Te dwa fakty rozwiązują 90% zadań z okręgiem opisanym.

Schemat punktowania: (1) rysunek z oznaczeniami - 1 pkt, (2) wykorzystanie własności trójkąta równoramiennego - 1 pkt, (3) poprawne wyznaczenie kątów - 1 pkt, (4) pełne rozwiązanie z uzasadnieniem - 1 pkt.

Przeczytaj przewodnik po planimetrii, żeby przećwiczyć zadania z okręgami opisanymi i wpisanymi.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (4 pkt) ↗

Treść: Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Pole podstawy wynosi 100, a pole powierzchni bocznej jest podane. Oblicz żądaną wielkość.

Rozwiązanie:

Krok 1 - Wyznaczenie boku podstawy. Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat. Pole kwadratu wynosi 100:

$$a^2 = 100 \implies a = 10$$

Krok 2 - Pole jednej ściany bocznej. Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma 4 ściany boczne (trójkąty równoramienne). Każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie $a = 10$ i wysokości $h_b$ (apotema ściany bocznej):

$$P_{\text{boczna}} = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_b = 2a \cdot h_b$$

Z podanego pola powierzchni bocznej wyznaczamy $h_b$.

Krok 3 - Wysokość ostrosłupa. Apotema podstawy (odległość od środka kwadratu do środka boku) wynosi:

$$d = \frac{a}{2} = 5$$

Z trójkąta prostokątnego (wysokość ostrosłupa H, apotema podstawy d, apotema ściany bocznej $h_b$):

$$H^2 + d^2 = h_b^2$$ $$H = \sqrt{h_b^2 - 25}$$

Krok 4 - Objętość (lub inna żądana wielkość):

$$V = \frac{1}{3} \cdot a^2 \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 100 \cdot H$$

Wskazówki:

Schemat punktowania: (1) wyznaczenie boku podstawy - 1 pkt, (2) wyznaczenie apotemy ściany bocznej - 1 pkt, (3) wyznaczenie wysokości ostrosłupa - 1 pkt, (4) obliczenie żądanej wielkości - 1 pkt.

Stereometria z ostrosłupami to jedno z najtrudniejszych zadań na maturze. Klucz to zawsze rysunek z przekrojem i oznaczenie trójkąta prostokątnego. Przeczytaj przewodnik po stereometrii i przećwicz na zadaniach z ostrosłupów.

Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze

---

Pełna lista zadań z rozwiązaniami

Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać:

Zadania zamknięte (1 pkt):

Zadania otwarte (2-4 pkt):

Kluczowe wnioski z matury 2013

1. Równania i nierówności to fundament. Ponad 5 zadań za 11 punktów - to ponad 20% arkusza. Musisz umieć rozwiązywać równania liniowe, kwadratowe, trzeciego stopnia (przez grupowanie) i nierówności. Przećwicz na zadaniach z równań i przeczytaj przewodnik po metodach rozwiązywania.

2. Stereometria za dużo punktów. 3 zadania za 6 punktów, w tym otwarte za 4 punkty z ostrosłupem. Klucz: zawsze rysuj przekrój z trójkątem prostokątnym. Ćwicz stereometrię.

3. Dowody podzielności mają stały schemat. Zadanie 31 to klasyka: wyłącz wspólny czynnik, oblicz nawias, pokaż wielokrotność. Ten schemat powtarza się na wielu maturach.

4. Wzory skróconego mnożenia to pewne punkty. Zadanie 7 wymaga rozpoznania kwadratu dwumianu. Trzy wzory: $(a \pm b)^2$ i $a^2 - b^2$. Proste, ale trzeba je znać na pamięć.

5. Trygonometria kątów ostrych to podstawa. Zapamiętaj wartości sin, cos i tg dla 30°, 45° i 60°. To daje pewne punkty na każdej maturze. Powtórz trygonometrię.

6. Logarytmy o różnych podstawach nie łączą się. Zadanie 3 testuje podstawową wiedzę: własność różnicy logarytmów działa tylko przy tej samej podstawie. Powtórz logarytmy.

Jak wykorzystać ten arkusz do nauki

1. Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych. Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność.

2. Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy. Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze?

3. Zidentyfikuj słabe obszary. Jeśli nie dałeś rady zadaniom z równań, przeczytaj przewodnik po równaniach i nierównościach i rozwiąż 10-15 podobnych zadań z bazy zadań. Jeśli stereometria sprawia ci problem, zacznij od przewodnika po stereometrii.

4. Przećwicz podobne arkusze. Po maturze z maja 2013 spróbuj matury maj 2014 - ma zbliżony poziom trudności. Pełną listę arkuszy znajdziesz w bazie arkuszy CKE.

5. Skup się na punktach cząstkowych. W zadaniach za 4 punkty nawet samo narysowanie rysunku, wyznaczenie boku podstawy lub zapisanie wzoru na objętość daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki.

6. Spróbuj symulatora matury. Jeśli chcesz poczuć prawdziwe warunki egzaminowe, wejdź na nasz symulator matury online i rozwiąż pełny arkusz z odmierzaniem czasu.

Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na stronę losowego zadania. A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz plan premium lub przetestuj darmowo na Sprawnej Maturze.