Logarytmy na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Logarytmy - straszne tylko z nazwy

Logarytmy brzmią skomplikowanie, ale opierają się na jednej prostej idei: logarytm odpowiada na pytanie "do jakiej potęgi muszę podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?"

Na maturze podstawowej logarytmy pojawiają się w 1-2 zadaniach (zamkniętych za 1 pkt, czasem w otwartych). To nie jest temat, na którym stracisz egzamin - ale te 1-2 punkty mogą zrobić różnicę.

Definicja logarytmu

$\log_a b = c \iff a^c = b$

Czytamy: "logarytm z $b$ przy podstawie $a$ jest równy $c$" oznacza, że "$a$ do potęgi $c$ daje $b$".

Warunki istnienia logarytmu (CKE to testuje!):

• •$a > 0$ i $a \neq 1$ (podstawa musi być dodatnia i różna od 1)
• •$b > 0$ (logarytmujemy tylko liczby dodatnie)

Przykłady:

• •$\log_2 8 = 3$, bo $2^3 = 8$
• •$\log_3 81 = 4$, bo $3^4 = 81$
• •$\log_{10} 1000 = 3$, bo $10^3 = 1000$
• •$\log_5 1 = 0$, bo $5^0 = 1$

Zasada: Logarytm z 1 przy dowolnej podstawie wynosi 0, a logarytm z podstawy wynosi 1.

$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$

Własności logarytmów

To jest serce tematu. Na maturze musisz znać 4 własności:

1. Logarytm iloczynu

$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$

Logarytm iloczynu = suma logarytmów.

2. Logarytm ilorazu

$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$

Logarytm ilorazu = różnica logarytmów.

3. Logarytm potęgi

$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$

Wykładnik "schodzi" przed logarytm jako mnożnik.

4. Zmiana podstawy logarytmu

$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$

Przydatne, gdy masz logarytmy o różnych podstawach i chcesz je sprowadzić do jednej.

Szczególny przypadek:
$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$

Logarytm dziesiętny i naturalny

• •$\log_{10} x$ zapisujemy jako $\log x$ (logarytm dziesiętny)
• •$\log_e x$ zapisujemy jako $\ln x$ (logarytm naturalny, $e \approx 2{,}718$)

Na maturze podstawowej prawie wyłącznie pojawiają się logarytmy o podstawach będących liczbami naturalnymi (2, 3, 5, 10). Logarytm naturalny to temat rozszerzenia.

Jak obliczać logarytmy bez kalkulatora?

Metoda: Zawsze sprowadzaj argument do potęgi podstawy.

$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$ $\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$ $\log_4 8 = \log_4 2^3 = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$

W ostatnim przykładzie użyliśmy zmiany podstawy, bo 8 nie jest potęgą 4.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Najczęstsze błędy

Błąd 1: $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Własności dotyczą iloczynu i ilorazu, nie sumy i różnicy! $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, ale $\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$. To nie to samo.

Błąd 2: Zapominanie o warunkach istnienia. Argument logarytmu musi być dodatni. W równaniu $\log_2(x - 3) = 5$ musisz sprawdzić, że $x - 3 > 0$, czyli $x > 3$.

Błąd 3: Mylenie podstawy z argumentem. W $\log_2 8$ podstawa to 2 (mała, na dole), a argument to 8. Pytamy: "2 do jakiej potęgi daje 8?"

Strategia rozwiązywania

1. 1.Czy możesz sprowadzić argument do potęgi podstawy? Jeśli tak, obliczasz od razu.
2. 2.Czy masz iloczyn/iloraz w argumencie? Rozbij na sumę/różnicę logarytmów.
3. 3.Czy masz potęgę w argumencie? Wyciągnij wykładnik przed logarytm.
4. 4.Czy masz różne podstawy? Użyj wzoru na zmianę podstawy.

Na Sprawnej Maturze przećwiczysz zadania z logarytmami z prawdziwych arkuszy CKE - rozwiąż je wszystkie i logarytmy przestaną Cię straszyć.

Następny krok Losuj kolejne zadanie