Logarytmy na maturze - wzory, własności i zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Logarytmy - straszne tylko z nazwy

Logarytmy brzmią skomplikowanie, ale opierają się na jednej prostej idei: logarytm odpowiada na pytanie "do jakiej potęgi muszę podnieść podstawę, żeby dostać daną liczbę?"

Na maturze podstawowej logarytmy pojawiają się w 1-2 zadaniach (zamkniętych za 1 pkt, czasem w otwartych). To nie jest temat, na którym stracisz egzamin - ale te 1-2 punkty mogą zrobić różnicę.

Definicja logarytmu

$$\log_a b = c \iff a^c = b$$

Czytamy: "logarytm z $b$ przy podstawie $a$ jest równy $c$" oznacza, że "$a$ do potęgi $c$ daje $b$".

Warunki istnienia logarytmu (CKE to testuje!):

Przykłady:

Zasada: Logarytm z 1 przy dowolnej podstawie wynosi 0, a logarytm z podstawy wynosi 1.

$$\log_a 1 = 0 \qquad \log_a a = 1$$

Własności logarytmów

To jest serce tematu. Na maturze musisz znać 4 własności:

1. Logarytm iloczynu

$$\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$$

Logarytm iloczynu = suma logarytmów.

2. Logarytm ilorazu

$$\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$$

Logarytm ilorazu = różnica logarytmów.

3. Logarytm potęgi

$$\log_a x^n = n \cdot \log_a x$$

Wykładnik "schodzi" przed logarytm jako mnożnik.

4. Zmiana podstawy logarytmu

$$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$$

Przydatne, gdy masz logarytmy o różnych podstawach i chcesz je sprowadzić do jednej.

Szczególny przypadek:
$$\log_a b = \frac{1}{\log_b a}$$

Logarytm dziesiętny i naturalny

Na maturze podstawowej prawie wyłącznie pojawiają się logarytmy o podstawach będących liczbami naturalnymi (2, 3, 5, 10). Logarytm naturalny to temat rozszerzenia.

Jak obliczać logarytmy bez kalkulatora?

Metoda: Zawsze sprowadzaj argument do potęgi podstawy.

$$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$$ $$\log_3 \frac{1}{9} = \log_3 3^{-2} = -2$$ $$\log_4 8 = \log_4 2^3 = \frac{\log_2 2^3}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$

W ostatnim przykładzie użyliśmy zmiany podstawy, bo 8 nie jest potęgą 4.

Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

Przykład 1: Obliczanie wartości wyrażenia (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Wartość wyrażenia $\log_2 16 + \log_2 \frac{1}{4}$ jest równa

A. $2$    B. $3$    C. $4$    D. $6$

Rozwiązanie:

$$\log_2 16 + \log_2 \frac{1}{4} = \log_2 (16 \cdot \frac{1}{4}) = \log_2 4 = 2$$

Alternatywnie: $\log_2 16 = 4$, $\log_2 \frac{1}{4} = \log_2 2^{-2} = -2$, suma $= 4 + (-2) = 2$.

Odpowiedź: A

Przykład 2: Upraszczanie wyrażenia (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Jeśli $\log_3 5 = a$, to $\log_3 45$ jest równy

A. $2 + a$    B. $9a$    C. $2a$    D. $a + 9$

Rozwiązanie:

Rozkładamy 45:
$$\log_3 45 = \log_3 (9 \cdot 5) = \log_3 9 + \log_3 5 = 2 + a$$

bo $\log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$.

Odpowiedź: A

Przykład 3: Zmiana podstawy (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Wartość wyrażenia $\log_4 8$ jest równa

A. $2$    B. $\frac{3}{2}$    C. $\frac{2}{3}$    D. $\frac{1}{2}$

Rozwiązanie:

Sprowadzamy do podstawy 2:
$$\log_4 8 = \frac{\log_2 8}{\log_2 4} = \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: B

Przykład 4: Równanie logarytmiczne (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Rozwiązaniem równania $\log_2(x - 1) = 3$ jest

A. $4$    B. $7$    C. $8$    D. $9$

Rozwiązanie:

Z definicji logarytmu:
$$\log_2(x - 1) = 3 \iff x - 1 = 2^3 = 8$$
$$x = 9$$

Sprawdzamy warunek istnienia: $x - 1 = 8 > 0$. Spełniony.

Odpowiedź: D

Przykład 5: Potęga w argumencie (zamknięte, 1 pkt)

Treść: Wartość wyrażenia $2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3$ jest równa

A. $-1$    B. $0$    C. $1$    D. $3$

Rozwiązanie:

$$2\log_3 5 - \log_3 75 + \log_3 3 = \log_3 5^2 - \log_3 75 + 1$$ $$= \log_3 25 - \log_3 75 + 1 = \log_3 \frac{25}{75} + 1 = \log_3 \frac{1}{3} + 1$$ $$= -1 + 1 = 0$$

Odpowiedź: B

Najczęstsze błędy

Błąd 1: $\log(a + b) \neq \log a + \log b$. Własności dotyczą iloczynu i ilorazu, nie sumy i różnicy! $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, ale $\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$. To nie to samo.

Błąd 2: Zapominanie o warunkach istnienia. Argument logarytmu musi być dodatni. W równaniu $\log_2(x - 3) = 5$ musisz sprawdzić, że $x - 3 > 0$, czyli $x > 3$.

Błąd 3: Mylenie podstawy z argumentem. W $\log_2 8$ podstawa to 2 (mała, na dole), a argument to 8. Pytamy: "2 do jakiej potęgi daje 8?"

Strategia rozwiązywania

1. Czy możesz sprowadzić argument do potęgi podstawy? Jeśli tak, obliczasz od razu.
2. Czy masz iloczyn/iloraz w argumencie? Rozbij na sumę/różnicę logarytmów.
3. Czy masz potęgę w argumencie? Wyciągnij wykładnik przed logarytm.
4. Czy masz różne podstawy? Użyj wzoru na zmianę podstawy.

Na Sprawnej Maturze przećwiczysz zadania z logarytmami z prawdziwych arkuszy CKE - rozwiąż je wszystkie i logarytmy przestaną Cię straszyć.