Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki - definicja klasyczna, drzewka i zadania z rozwiązaniami

Kompletny przewodnik po prawdopodobieństwie na maturze. Definicja klasyczna P(A) = |A|/|Ω|, drzewka, zdarzenie przeciwne, symbol Newtona i 6 rozwiązanych zadań maturalnych krok po kroku.

Marcel Bogdan8 min czytania

31 marca 20269 września 2026

Spis treści

Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki - kompletny przewodnik

Prawdopodobieństwo to jeden z najważniejszych działów na maturze z matematyki. Na każdym arkuszu pojawiają się co najmniej 2-3 zadania z tego zakresu, za które możesz zdobyć od 3 do nawet 7 punktów. W połączeniu z kombinatoryką i statystyką tworzy blok tematyczny wart łącznie około 15% punktów na egzaminie.

Dobra wiadomość? Zadania z prawdopodobieństwa na maturze opierają się na kilku powtarzalnych schematach. Jeśli opanujesz definicję klasyczną, drzewka i podstawowe techniki zliczania, możesz liczyć na pewne punkty. Ten przewodnik przeprowadzi Cię przez wszystko, co musisz wiedzieć - od fundamentów po rozwiązane zadania maturalne.

Jeśli szukasz ogólnej strategii na egzamin, zajrzyj do kompletnego przewodnika po maturze 2027 albo sprawdź pewniaki maturalne, w których prawdopodobieństwo zajmuje ważne miejsce.

Definicja klasyczna prawdopodobieństwa

Definicja klasyczna to fundament, na którym opiera się większość zadań maturalnych. Brzmi ona tak:

Jeśli przestrzeń zdarzeń elementarnych $\Omega$ jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ wynosi:

P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}

gdzie $|A|$ to liczba zdarzeń sprzyjających (wyników korzystnych), a $|\Omega|$ to liczba wszystkich możliwych wyników.

Co to oznacza w praktyce?

Aby obliczyć prawdopodobieństwo, musisz zawsze wykonać dwa kroki:

1.Policzyć wszystkie możliwe wyniki - to $|\Omega|$ , czyli mianownik ułamka
2.Policzyć wyniki sprzyjające - to $|A|$ , czyli licznik ułamka

Element	Oznaczenie	Pytanie, które zadajesz
Przestrzeń zdarzeń	$\Omega$	Ile jest wszystkich możliwych wyników?
Zdarzenie sprzyjające	$A$	Ile wyników spełnia warunek z zadania?
Prawdopodobieństwo	$P(A)$	Jaki ułamek wszystkich wyników jest korzystny?

Warunek kluczowy: definicja klasyczna działa tylko wtedy, gdy wszystkie wyniki elementarne są jednakowo prawdopodobne. Rzut symetryczną kostką - tak. Rzut obciążoną monetą - nie.

Zdarzenia elementarne i przestrzeń zdarzeń

Zanim zaczniesz liczyć prawdopodobieństwo, musisz prawidłowo określić przestrzeń zdarzeń elementarnych. To najczęstszy błąd na maturze - uczniowie wskakują od razu w obliczenia, nie zastanawiając się, czym jest jedno doświadczenie losowe.

Rzut monetą

Przestrzeń zdarzeń: $\Omega = \{O, R\}$ , gdzie $O$ - orzeł, $R$ - reszka. Mamy $|\Omega| = 2$ .

Przy dwóch rzutach: $\Omega = \{OO, OR, RO, RR\}$ , czyli $|\Omega| = 4$ . Uwaga - $OR$ i $RO$ to różne wyniki (kolejność ma znaczenie).

Rzut kostką

Jedna kostka: $|\Omega| = 6$ . Dwie kostki: $|\Omega| = 36$ (każda z 6 ścianek pierwszej kostki łączy się z 6 ściankami drugiej).

Losowanie kul z urny

Tu zależy od schematu losowania:

Schemat	Opis	Sposób zliczania
Bez zwracania, z kolejnością	Losujemy po kolei, nie wkładamy z powrotem	Wariacja bez powtórzeń
Bez zwracania, bez kolejności	Losujemy jednocześnie (lub kolejność nie ma znaczenia)	Kombinacja
Ze zwracaniem	Losujemy, wkładamy z powrotem, losujemy ponownie	Wariacja z powtórzeniami

To rozróżnienie jest absolutnie kluczowe. Więcej o technikach zliczania znajdziesz w poradniku o kombinatoryce.

Zdarzenie przeciwne - kiedy liczyć "od tyłu"

Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego to jedna z najskuteczniejszych technik na maturze:

P(A') = 1 - P(A)

Stosuj ją, gdy w zadaniu pojawia się słowo "co najmniej" albo gdy policzenie zdarzeń sprzyjających jest trudniejsze niż policzenie zdarzeń niesprzyjających.

Przykład: kiedy warto?

Zadanie: "Rzucamy kostką 3 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka?"

Zliczanie bezpośrednie wymagałoby rozważenia przypadków: dokładnie 1 szóstka, dokładnie 2 szóstki, dokładnie 3 szóstki. To żmudne.

Zdarzenie przeciwne: "ani razu nie wypadnie szóstka" - dużo prostsze do policzenia.

P(\text{co najmniej jedna 6}) = 1 - P(\text{zero szóstek}) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}

Zasada: gdy widzisz "co najmniej", automatycznie pomyśl o zdarzeniu przeciwnym.

Drzewko prawdopodobieństwa - jak rysować i liczyć

Drzewko prawdopodobieństwa to narzędzie, które porządkuje wieloetapowe doświadczenia losowe. Jest niezbędne w zadaniach, gdzie losowanie odbywa się w kilku krokach.

Zasady rysowania drzewka

1.Każdy węzeł to etap doświadczenia (pierwszy rzut, drugie losowanie itp.)
2.Gałęzie wychodzące z węzła to wszystkie możliwe wyniki na danym etapie
3.Na gałęziach zapisujemy prawdopodobieństwa - muszą sumować się do 1 dla każdego węzła
4.Prawdopodobieństwo ścieżki to iloczyn prawdopodobieństw na kolejnych gałęziach
5.Prawdopodobieństwo zdarzenia to suma prawdopodobieństw wszystkich ścieżek sprzyjających

Kiedy zmienia się prawdopodobieństwo na gałęziach?

W losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwa na drugim etapie zależą od wyniku pierwszego etapu. To kluczowa różnica:

•Ze zwracaniem: gałęzie na każdym etapie mają te same prawdopodobieństwa
•Bez zwracania: gałęzie na drugim etapie zmieniają się w zależności od pierwszego wyniku (bo w urnie jest mniej elementów)

Prawdopodobieństwo warunkowe i zdarzenia niezależne

Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe $P(A|B)$ to prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ :

P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}

Na maturze pojawia się to rzadziej w czystej postaci, ale ukrywa się w drzewkach - każda gałąź na drugim etapie to tak naprawdę prawdopodobieństwo warunkowe.

Zdarzenia niezależne

Dwa zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy zajście jednego nie wpływa na prawdopodobieństwo drugiego:

P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)

Przykłady zdarzeń niezależnych: dwa rzuty kostką, losowanie ze zwracaniem.
Przykłady zdarzeń zależnych: losowanie bez zwracania, losowanie kart z talii (bez odkładania).

Kombinatoryka w prawdopodobieństwie - symbol Newtona

W wielu zadaniach maturalnych zliczanie wyników sprzyjających wymaga użycia symbolu Newtona. Przypomnienie wzoru:

\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Symbol Newtona $\binom{n}{k}$ odpowiada na pytanie: na ile sposobów można wybrać $k$ elementów ze zbioru $n$ -elementowego, gdy kolejność nie ma znaczenia?

Typowy schemat zadania maturalnego z prawdopodobieństwem i kombinatoryką:

P(A) = \frac{\binom{k_1}{a} \cdot \binom{k_2}{b}}{\binom{n}{a+b}}

gdzie z $n$ elementów wybieramy $a+b$ , przy czym $a$ z jednej grupy ( $k_1$ elementów) i $b$ z drugiej ( $k_2$ elementów).

Rozwiązane przykłady

Oto sześć typowych zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Po więcej zadań do samodzielnego przećwiczenia zajrzyj na stronę z zadaniami z prawdopodobieństwa, gdzie czeka na Ciebie 29 zadań z rozwiązaniami.

Przykład 1: Rzut dwiema kostkami

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma oczek będzie równa 7.

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Przestrzeń zdarzeń: $|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$

Wyniki sprzyjające (pary dające sumę 7):
$(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)$

Czyli $|A| = 6$ .

P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Przykład 2: Losowanie kul bez zwracania

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: W urnie jest 5 kul białych i 3 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Łączna liczba kul: $5 + 3 = 8$

Wszystkie sposoby wylosowania 2 kul z 8:

|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28

Sposoby wylosowania 2 białych kul z 5:

|A| = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10

P(A) = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}

Przykład 3: Drzewko - losowanie bez zwracania

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: W pudełku jest 4 cukierki czekoladowe i 6 owocowych. Losujemy 2 cukierki po kolei, bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie jeden czekoladowy?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie metodą drzewka:

Etap 1 - pierwszy cukierek:

•Czekoladowy (C): $P = \frac{4}{10}$
•Owocowy (O): $P = \frac{6}{10}$

Etap 2 - drugi cukierek (zależy od etapu 1):

•Po wylosowaniu C: czekoladowy $\frac{3}{9}$ , owocowy $\frac{6}{9}$
•Po wylosowaniu O: czekoladowy $\frac{4}{9}$ , owocowy $\frac{5}{9}$

Ścieżki sprzyjające (dokładnie jeden czekoladowy):

•C, potem O: $\frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90}$
•O, potem C: $\frac{6}{10} \cdot \frac{4}{9} = \frac{24}{90}$

P(\text{dokładnie 1 czekoladowy}) = \frac{24}{90} + \frac{24}{90} = \frac{48}{90} = \frac{8}{15}

Przykład 4: Karty - kombinatoryka

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: Z talii 52 kart losujemy 5 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie 2 asów?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

W talii jest 4 asów i 48 pozostałych kart.

Wszystkie sposoby wylosowania 5 kart z 52:

|\Omega| = \binom{52}{5} = 2598960

Wyniki sprzyjające - 2 asy z 4 i 3 inne karty z 48:

|A| = \binom{4}{2} \cdot \binom{48}{3} = 6 \cdot 17296 = 103776

P(A) = \frac{103776}{2598960} \approx 0{,}0399 \approx 4\%

Przykład 5: Zdarzenie przeciwne - "co najmniej"

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: Rzucamy symetryczną monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie co najmniej raz?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Zdarzenie przeciwne: orzeł nie wypadnie ani razu (same reszki).

P(\text{same reszki}) = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}

P(\text{co najmniej 1 orzeł}) = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}

To jest dużo szybsze niż liczenie osobno przypadków: dokładnie 1, 2, 3, 4 lub 5 orłów.

Przykład 6: Losowanie ze zwracaniem - zdarzenia niezależne

0/6

Prawdopodobieństwo

Zadanie: W urnie jest 3 kule czerwone i 7 zielonych. Losujemy kulę, zapisujemy kolor, wkładamy z powrotem i losujemy ponownie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że za pierwszym razem wylosujemy czerwoną, a za drugim zieloną?

Pokaż rozwiązanie

Rozwiązanie:

Ponieważ losujemy ze zwracaniem, zdarzenia są niezależne:

P(\text{czerwona, potem zielona}) = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{10} = \frac{21}{100}

Zwróć uwagę na różnicę z losowaniem bez zwracania, gdzie wynik byłby:

P = \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{21}{90} = \frac{7}{30}

Typowe pułapki maturalne

Pułapka 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei"

Gdy w zadaniu losujemy 3 kule jednocześnie, to to samo co losowanie po kolei bez zwracania, gdy kolejność nie ma znaczenia. W obu przypadkach stosujemy kombinacje. Nie daj się zmylić sformułowaniem.

Pułapka 2: Zapominanie o kolejności w rzutach kostkami

Przy rzucie dwiema kostkami wynik (2,5) to nie to samo co (5,2). Mamy 36 wyników, nie 21. Uczniowie często mylą to z sytuacją, gdzie kolejność nie ma znaczenia.

Pułapka 3: "Co najmniej" bez zdarzenia przeciwnego

Bezpośrednie liczenie "co najmniej 2 z 5" wymaga sumy wielu przypadków. Zdarzenie przeciwne ("co najwyżej 1") jest prawie zawsze prostsze. To typowe łatwe punkty na maturze, które tracisz tylko przez złą metodę.

Pułapka 4: Mylenie "ze zwracaniem" i "bez zwracania"

Przy losowaniu bez zwracania prawdopodobieństwa na kolejnych etapach się zmieniają. Przy losowaniu ze zwracaniem pozostają stałe. Przeczytaj zadanie dwukrotnie i zaznacz, o który schemat chodzi.

Pułapka 5: Zapominanie o uproszczeniu wyniku

Na maturze wynik powinien być w postaci ułamka nieskracalnego. Odpowiedź $\frac{10}{28}$ zamiast $\frac{5}{14}$ może kosztować punkt. Zawsze sprawdzaj, czy ułamek jest uproszczony.

Pułapka 6: Źle zbudowana przestrzeń zdarzeń

Prawdopodobieństwo a inne działy maturalne

Dział	Połączenie z prawdopodobieństwem	Gdzie przeczytać więcej
Kombinatoryka	Zliczanie $\|A\|$ i $\|\Omega\|$ za pomocą permutacji, kombinacji, wariacji	Kombinatoryka na maturze
Symbol Newtona	Kluczowy przy losowaniu bez zwracania i bez kolejności	Symbol Newtona - wzór i obliczanie
Statystyka	Rozkłady prawdopodobieństwa, wartość oczekiwana	Statystyka na maturze

Jeśli chcesz zobaczyć, jakie jeszcze tematy sprawiają maturzystom kłopoty, sprawdź ranking najtrudniejszych zadań maturalnych.

Checklista - co zapamiętać przed maturą

Definicja klasyczna:

$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$ - zawsze licz osobno licznik i mianownik
Działa tylko gdy zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne

Zdarzenie przeciwne:

• $P(A') = 1 - P(A)$ - stosuj przy "co najmniej"
•Zawsze rozważ, czy nie jest prostsze niż liczenie bezpośrednie

Drzewko prawdopodobieństwa:

•Prawdopodobieństwa na gałęziach z jednego węzła sumują się do 1
•Prawdopodobieństwo ścieżki = iloczyn prawdopodobieństw na gałęziach
•Prawdopodobieństwo zdarzenia = suma prawdopodobieństw ścieżek sprzyjających

Schematy losowania:

•Ze zwracaniem - zdarzenia niezależne, prawdopodobieństwa stałe
•Bez zwracania - zdarzenia zależne, prawdopodobieństwa się zmieniają

Kombinatoryka:

•Kolejność ma znaczenie - wariacje
•Kolejność nie ma znaczenia - kombinacje (symbol Newtona)

Na egzaminie:

•Przeczytaj zadanie dwa razy
•Zapisz $|\Omega|$ jawnie
•Uprość wynik do ułamka nieskracalnego
•Sprawdź, czy $0 \leq P(A) \leq 1$

Gotowy do ćwiczeń? Przejdź do zadań z prawdopodobieństwa i rozwiąż 29 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. A jeśli chcesz zobaczyć pełen obraz przygotowań, przeczytaj nasz kompletny przewodnik po maturze 2027.

Następny krok Losuj kolejne zadanie

Kategoria: Prawdopodobieństwo

Zobacz wszystkie

Przestań szukać, zacznij ćwiczyć

Masz tu wszystko czego potrzebujesz do matury. Prawdziwe zadania CKE z rozwiązaniami krok po kroku, filmy i śledzenie postępu.

2916

zadań CKE

2916

rozwiązań

2401

filmów

Załóż darmowe konto

Ćwicz w aplikacji Sprawna Matura

Te same zadania CKE z rozwiązaniami, brudnopis i kalkulator, także offline.

Powiązane artykuły

Rozwiązanie zadania

Losujemy jedną liczbę ze zbioru X, a następnie ze zbioru Y - jak policzyć prawdopodobieństwo (zadania maturalne)

Losujesz jedną liczbę ze zbioru X, a potem jedną ze zbioru Y: wynik to para (x, y), a wszystkich par jest |X|·|Y|, nie n do kwadratu. Tabela par, rozbicie na parzystość i znak, zdarzenie przeciwne oraz sześć przykładów, w tym pięć zadań CKE z lat 2018-2026, krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Losowanie ze zwracaniem - prawdopodobieństwo, reguła mnożenia i zadania maturalne

Losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem: wszystkich wyników jest n do kwadratu, para (a, b) to wynik, a kolejność ma znaczenie. Reguła mnożenia, tabela par i osiem zadań z matur podstawowych rozwiązanych krok po kroku.

Rozwiązanie zadania

Rzut monetą - prawdopodobieństwo, drzewko i zadania maturalne

Przy n rzutach monetą jest 2^n wyników, a prawdopodobieństwo dokładnie k orłów to symbol Newtona podzielony przez 2^n. Drzewko, wzór i 7 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku.