Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe 100 cm 2 , a jego pole powierzchni bocznej jest równe 260 cm 2 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: V=400
Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Do obliczenia objętości potrzebujemy miarę wysokości ostrosłupa, czyli odcinka SO. Obliczmy ją z Twierdzenia Pitagorasa, ale zanim to nastąpi to musimy poznać miary odcinków OE oraz SE.
Krok 1. Obliczenie długości krawędzi podstawy oraz odcinka OE.
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w swojej podstawie kwadrat. Skoro pole powierzchni jest równe 100cm², to długość krawędzi podstawy jest równa 10cm.
Odcinek OE jest równy połowie długości podstawy, czyli |OE|=5cm.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka SE, czyli wysokości ściany bocznej ostrosłupa.
Pole powierzchni bocznej jest równe 260cm². Skoro mamy cztery identyczne trójkątne ściany, a każda z nich ma w podstawie trójkąt, to z tego pola powierzchni będziemy w stanie wyznaczyć wysokość każdego takiego trójkąta, czyli nasz odcinek SE.
P_b=4 · 1/2 ah 260cm²=4 · 1/2 · 10cm · h 260cm²=20cm · h h=13cm
Mamy już więc kolejną długość |SE|=13cm.
Krok 3. Obliczenie długości odcinka SO, czyli wysokości ostrosłupa.
Skorzystamy tutaj z Twierdzenia Pitagorasa na trójkącie SOE.
a²+b²=c² |OE|²+|SO|²=|SE|² (5cm)²+|SO|²=(13cm)² 25cm²+|SO|²=169cm² |SO|²=144cm² |SO|=12cm |SO|=-12cm
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo wysokość ostrosłupa nie może być ujemna.
Krok 4. Obliczenie objętości bryły.
Znamy pole podstawy, mamy obliczoną wysokość ostrosłupa, więc wystarczy już tylko podstawić dane do wzoru:
V=1/3 P_p · H V=1/3 · 100cm² · 12cm V=400cm³
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.