Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z takich, że x+y+z=0 , prawdziwa jest nierówność xy+yz+zx ≤ 0 . Możesz skorzystać z tożsamości (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz .
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEKrok 1. Przekształcenie tożsamości (x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz.
W zadaniu skorzystamy z tożsamości podanej w treści zadania. Spróbujemy ją przekształcić w taki sposób, by po lewej stronie otrzymać wartość xy+yz+zx. Zatem:
(x+y+z)²=x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz (x+y+z)²-x²-y²-z²=2xy+2xz+2yz xy+xz+yz=((x+y+z)²-x²-y²-z²)/2
Krok 2. Interpretacja otrzymanego równania.
Z treści zadania wiemy, że x+y+z=0, stąd też wartość (x+y+z)² otrzymana w liczniku jest równa 0. Zostaje nam więc tak naprawdę:
xy+xz+yz=(-x²-y²-z²)/2
Jakakolwiek liczba podniesiona do kwadratu jest liczbą nieujemną. Skoro więc przed x², y² oraz z² stoją znaki minusa, to na pewno w liczniku mamy wartość niedodatnią, a to z kolei jest dowodem na to, że xy+yz+zx ≤ 0.
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.