Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym ABC. Kąt ACS jest trzy razy większy od kąta BAS, a kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS. Oblicz kąty trójkąta ABC.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 45° , 60° , 75°
Krok 1. Sporządzenie rysunku pomocniczego.
Musimy dostrzec, że trójkąty ABS, BSC i ASC są równoramienne, bo każdy z nich ma dwa ramiona o długości promienia okręgu. Trójkąty równoramienne mają tę cechę, że przy podstawie posiadają dwa kąty identycznej miary. W związku z tym, jeśli oznaczymy sobie jako α kąt BAS, to także kąt ABS jest równy α.
Z treści zadania wiemy też, że kąt CBS jest dwa razy większy od kąta BAS, czyli zgodnie z naszymi oznaczeniami miara kąta CBS jest równa 2α. To oznacza, że i kąt BCS ma miarę 2α. I analogicznie skoro kąt ACS jest równy 3α, to i kąt CAS ma miarę 3a. Oznaczmy sobie wszystkie te dane na rysunku pomocniczym.
Krok 2. Obliczenie miar kątów trójkąta ABC.
Suma kątów w trójkącie jest równa 180°. Na rysunku widzimy, że:
|∢ABC|+|∢BCA|+|∢CAB|=3α+5α+4α=12α
To oznacza, że bardzo łatwo możemy wyznaczyć wartość α i tym samym obliczyć miarę każdego z kątów.
12α=180° α=15°
Zatem:
|∢ABC|=3α=3 · 15°=45° |∢BCA|=5α=5 · 15°=75° |∢CAB|=4α=4 · 15°=60°
Planimetria: Trójkąty, czworokąty i okręgi: przystawanie i podobieństwo, twierdzenie Pitagorasa i Talesa, kąty wpisane i środkowe, pola figur.