Dwa miasta łączy linia kolejowa o długości 336 kilometrów. Pierwszy pociąg przebył tę trasę w czasie o 40 minut krótszym niż drugi pociąg. Średnia prędkość pierwszego pociągu na tej trasie była o 9 km/h większa od średniej prędkości drugiego pociągu. Oblicz średnią prędkość każdego z tych pociągów na tej trasie.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: v₁=72 km/h, v₂=63 km/h
Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
t - czas jazdy pierwszego pociągu
v - prędkość jazdy pierwszego pociągu
t+2/3 h - czas jazdy drugiego pociągu (dodajemy 2/3, bo 40 minut to 2/3 godziny. Gdybyśmy zapisali to jako t+40min to potem nie moglibyśmy się posługiwać jednostkami km/h)
v-9 km/h - prędkość jazdy drugiego pociągu
s=336km - długość całej trasy
Krok 2. Zapisanie i rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Skorzystamy tutaj ze wzoru na drogę s=v · t. Podstawiając do niego nasze dane wypisane w pierwszym otrzymamy następujący układ równań:
vt=336 (v-9)(t+2/3)=336 t=336/v vt+2/3 v-9t-6=336
Po podstawieniu wartości t z pierwszego równania do drugiego otrzymamy:
cancel v · 336/v+2/3 v-9 · 336/v-6=336 336+2/3 v-3024/v-6=336 2/3 v-3024/v-6=0 / · 3/2 v-4536/v-9=0 / · v v²-9v-4536=0
Krok 3. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Współczynniki: a=1, b=-9, c=-4536
Δ=b²-4ac=(-9)²-4 · 1 · (-4536)=81+18144=18225 √(Δ)=√(18225)=135
v₁=(-b-√(Δ))/(2a)=(-(-9)-135)/(2 · 1)=(9-135)/2=-126/2=-63 v₂=(-b+√(Δ))/(2a)=(-(-9)+135)/(2 · 1)=(9+135)/2=144/2=72
Rozwiązanie ujemne wykluczamy, bo prędkość musi być dodatnia. To oznacza, że ostatecznym rozwiązaniem jest v=72 km/h.
Krok 4. Obliczenie prędkości drugiego pociągu.
Prędkość jazdy drugiego pociągu to:
v-9 km/h=72 km/h-9 km/h=63 km/h
Równania i nierówności: Równania i nierówności liniowe, kwadratowe, wymierne oraz z wartością bezwzględną, razem z interpretacją zbioru rozwiązań.