Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198 . Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1:2:3 . Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.
Rozwiązanie krok po kroku
Zgodne z metodyką CKEPrawidłowa odpowiedź: 3√(14)
Krok 1. Obliczenie długości x.
Znając pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu i relacje między poszczególnymi długościami boków (patrz rysunek z pierwszego kroku) możemy obliczyć długość każdej z krawędzi.
P_c=2 · x · 2x+2 · x · 3x+2 · 2x · 3x 198=4x²+6x²+12x² 198=22x² x²=9 x=3 x=-3
Ujemną długość oczywiście odrzucamy, zostaje nam x=3.
Znając wartość x=3 znamy tak naprawdę długości wszystkich krawędzi tego prostopadłościanu: x=3, 2x=6 oraz 3x=9.
Krok 2. Obliczenie długości odcinka BD.
Musimy poznać długość odcinka BD, tak aby potem użyć jej do obliczenia przekątnej bryły. Z Twierdzenia Pitagorasa wynika, że:
a²+b²=c² |AB|²+|AD|²=|BD|² 3²+6²=|BD|² 9+36=|BD|² |BD|²=45 |BD|=√(45)
Krok 3. Obliczenie długości przekątnej prostopadłościanu.
Ponownie skorzystamy ze wzoru na Twierdzenie Pitagorasa.
|BD|²+|DH|²=|BH|² (√(45))²+9²=|BH|² 45+81=|BH|² |BH|²=126 |BH|=√(126)=√(9 · 14)=3√(14)
Stereometria: Graniastosłupy, ostrosłupy i bryły obrotowe: pole powierzchni, objętość, przekroje oraz kąty między prostymi i płaszczyznami.